====== 欧几里得空间 (Euclidean Space) ====== 实数系 $\mathbf{R}$ 的 $n$ 重积定义为 $n$ 维实 欧几里得空间： $$ \mathbf{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : x_i \in \mathbf{R} \} $$ 其中 $\mathbf{0} = (0, \dots, 0)$ 为原点。 ===== 线性结构 (Linear Structure) ===== $\mathbf{R}^n$ 具备向量空间结构。 ==== 1. 线性运算 ==== 对于 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^n, \alpha \in \mathbf{R}$： * **加法**: $\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$ * **数乘**: $\alpha \mathbf{x} = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_n)$ **运算性质 :** * 加法结合律、交换律 * 存在零元 $\mathbf{0}$ 和负元 $-\mathbf{x}$ * 数乘分配律、结合律 * 单位元性质 $1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}$ ==== 2. 几何概念 ==== * **线段**: $[a, b] \triangleq \{(1 - t)a + tb : 0 \leqslant t \leqslant 1\}$ * **直线**: $L = \{(1 - t)a + tb : t \in \mathbf{R}\}$ * **凸集 (Convex Set)**: 若 $\forall a, b \in A$，都有 $[a, b] \subset A$，则 $A$ 为凸集。 * **线性流形 (平面)**: 子空间 $A$ 平移后得到的集合 $A + b$。 * **标准基**: $e_1, \dots, e_n$，其中 $e_i$ 第 $i$ 个分量为 1，其余为 0。 ===== 度量 (Metric) ===== 通过引入模长和内积，赋予空间几何性质。 ==== 1. 模长 (Euclid 范数) ==== 定义：$|\mathbf{x}| = (\sum x_i^2)^{1/2}$ **性质 (定理 3.2.1):** * **齐次性**: $|\alpha \mathbf{x}| = |\alpha| |\mathbf{x}|$ * **三角不等式**: $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$ * **正定性**: $|\mathbf{x}| \geqslant 0$，且 $|\mathbf{x}| = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$ ==== 2. 内积 (Inner Product) ==== 定义：$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum x_i y_i = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$ **性质 :** * **对称性**: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x}$ * **双线性**: $(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \alpha \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \beta \mathbf{y} \cdot \mathbf{z}$ * **正定性**: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = |\mathbf{x}|^2 \geqslant 0$ * **Cauchy-Schwarz 不等式**: $|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$ ==== 3. 几何应用 ==== * **夹角**: $\cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{|\mathbf{x}| |\mathbf{y}|}$ * **正交**: $\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \Leftrightarrow \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0$ * **勾股定理**: 若 $\mathbf{x} \perp \mathbf{y}$，则 $|\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 + |\mathbf{y}|^2$ * **极化恒等式**: $4\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2$ * **超平面**: 方程 $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$，其中 $\mathbf{n}$ 为法向量。 ==== 4. 球与有界集 ==== * **开球**: $B_r(a) = \{x : |x - a| < r\}$ * **闭球**: $\bar{B}_r(a) = \{x : |x - a| \leqslant r\}$ * **球面**: $S_r(a) = \{x : |x - a| = r\}$ ($S^{n-1}$ 为单位球面) * **有界集**: 存在球包含该集合 $\Leftrightarrow \sup |x| < \infty \Leftrightarrow \text{diam } A < \infty$ ，diam：直径 ===== 点集 (Point Sets) ===== 拓扑结构的基础，描述点的“邻近”关系。 ^ 概念 ^ 定义 ^ 集合记号 ^ | **内点** | 存在球 $B_r(x) \subset A$ | 内部 $A^\circ$ | | **触点** | $\forall r>0, B_r(x) \cap A \neq \emptyset$ | 闭包 $\overline{A}$ | | **边界点** | $\forall r>0, B_r(x)$ 既含 $A$ 点也含 $A^c$ 点 | 边界 $\partial A$ | | **聚点** | $\forall r>0, B_r(x)$ 含 $A$ 中异于 $x$ 的点 | 导集 $A'$ |
⤮ 移动鼠标控制点 x
集合 A 孤立点 r x

点 x 的性质判定

内点 (Interior) NO

邻域完全包含在 A 内部。B_r(x) ⊂ A

触点 (Contact) NO

邻域与 A 有交集。B_r(x) ∩ A ≠ ∅

边界点 (Boundary) NO

既碰到 A 也碰到 A 的外部。B_r(x) ∩ A ≠ ∅ 且 B_r(x) ∩ A^c ≠ ∅

聚点 (Limit) NO

邻域含 A 中异于 x 的点。B_r(x) ∩ (A \ x) ≠ ∅

ℹ️ 试着将点 x 移到右侧的孤立点上。你会发现它是触点，但不是聚点（因为邻域里除了它自己没有别的 A 成员）。

==== 1. 开集与闭集 ==== * **开集**: $A = A^\circ$ (所有点皆为内点) * **闭集**: $A = \overline{A}$ (包含所有触点) * **紧集**: 有界闭集 * **对偶性公式**: * $\overline{A} = (A^c)^\circ {}^c$ * $A^\circ = (\overline{A^c})^c$ * $A$ 是闭集 $\Leftrightarrow A^c$ 是开集 **定理 3.3.2 (运算封闭性):** * **开集**: 任意并、有限交仍为开集。 * **闭集**: 任意交、有限并仍为闭集。 **定理 3.3.3 (结构):** * $\mathbf{R}^1$ 中的开集是可数个互不相交开区间的并。 * $\mathbf{R}^n$ 中的开集是可数个开球的并。 ==== 2. 区域 (Region) ==== * **定义**: 连通的开集（任意两点可用含于该集合的折线连接）。 * **闭区域**: 区域及其边界的并。 ==== 3. 邻域基 ==== * **定义**: 一族邻域 $\{U_\alpha\}$，使得对任意邻域 $V$，存在 $U_\alpha \subset V$。 * 常用基：球邻域基 $\{B_{1/k}(x)\}$，方体邻域基 $\{C_r(x)\}$。 ===== 复平面 (Complex Plane) ===== $\mathbf{R}^2$ 赋予乘法结构后成为复数域 $\mathbf{C}$。 ==== 1. 代数结构 ==== * **乘法定义**: $(x, y)(x_1, y_1) = (xx_1 - yy_1, xy_1 + x_1y)$ * **标准型**: $z = x + \mathrm{i}y$，其中 $\mathrm{i} = (0, 1), \mathrm{i}^2 = -1$ * **共轭**: $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$ * **模与辐角**: $x = |z|\cos(\text{Arg } z), y = |z|\sin(\text{Arg } z)$ **重要关系式:** * $z \bar{z} = |z|^2$ * $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \quad \overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$ * $|zw| = |z||w|$ ==== 2. 复变函数基础 ==== * **Euler 公式**: $\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \cos y + \mathrm{i}\sin y$ * **指数函数**: $\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i}\sin y)$ (周期 $2\pi\mathrm{i}$) * **对数函数**: $\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\operatorname{Arg} z$ (多值)【辐角（Argument, $\arg z$）：这个向量与 $x$ 轴正方向之间的夹角。−π