===== 1. 极限的定义 =====

极限的概念经历了从“直观的动态接近”到“严格的静态量化”的演变。

==== 1.1 直观定义 ====
当自变量 $x$ 无限接近于 $x_0$（但不等于 $x_0$）时，函数 $f(x)$ 的值无限接近于一个确定的常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限。

==== 1.2 严格定义 ($\epsilon-\delta$ 语言) ====
这是由柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）建立的现代分析语言，解决了牛顿时代“无穷小”定义的模糊性。

**定义**：
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$（无论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式：
$$ |f(x) - A| < \epsilon $$
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作：
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $$

**逻辑符号表示**：
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - A| < \epsilon $$

> **注解**：这里的 $\epsilon$ 刻画了“误差”的任意小，而 $\delta$ 刻画了自变量接近 $x_0$ 的程度。

> 这段公式若用300年前的用语描述，则是在说，$x=x_0 + dx,f(x) = A + dy$ ，其中$|dx|、|dy|<任意正数，为无穷小$，则x的极限为$x_0$，$f(x)$的极限为$A$，因为无穷小的极限为0。

===== 2. 极限的性质 =====

在进行极限运算时，以下性质至关重要：

  * **唯一性**：如果极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，那么这个极限是唯一的。(无穷小只有一个极限就是0)
  * **有界性**：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界。(dy只变化了一个无穷小，就取这个范围大一点)
  * **保号性**：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$，则在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x) > 0$。(dy只变化了一个无穷小，就取这个范围大一点)

===== 3. 求解极限存在及求值的方法汇总 =====

在微积分中，判断极限是否存在以及求解极限值是核心问题。以下是数学分析中常用的判定方法和计算技巧的全面梳理。

=== 3.1. 定义法 (Definition) ===

这是判断极限最本质的方法，通常用于**证明**极限存在，而非直接计算。

  * **数列极限 ($\varepsilon - N$ 语言)**:
    对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有 $|x_n - A| < \varepsilon$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。
  * **函数极限 ($\varepsilon - \delta$ 语言)**:
    对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

**适用场景**：理论证明，或者验证已知极限值的正确性。

=== 3.2. 四则运算法则 (Arithmetic Rules) ===

如果两个极限都存在，即 $\lim f(x) = A$ 且 $\lim g(x) = B$，则：
  * $ \lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B $
  * $ \lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B $
  * $ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $ (其中 $B \neq 0$)

**注意**：前提是拆分后的**每一部分极限都必须存在**。

=== 3.3. 夹逼定理 (Squeeze Theorem) ===

也称为“三明治定理”或“迫敛性定理”。

**定理内容**：
如果存在 $N$ (或 $\delta$)，使得在该范围内满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，且：
$ \lim g(x) = \lim h(x) = A $
那么，$\lim f(x)$ 也存在，且等于 $A$。

**适用场景**：
  * 难以直接计算，但容易找到上下界的情况。
  * 含有 $n$ 项和的数列极限（通过放缩法）。
  * 含有 $\sin(1/x)$ 等震荡因子与趋于0的因子相乘时。

=== 3.4. 单调有界准则 (Monotone Bounded Criterion) ===

这是证明**数列**极限存在的强有力工具。

**定理内容**：
  * **单调递增**且**有上界**的数列必收敛。
  * **单调递减**且**有下界**的数列必收敛。

**步骤**：
  - 1. 证明 $x_{n+1} \ge x_n$ (或 $\le$)。
  - 2. 找到常数 $M$，证明 $x_n \le M$ (或 $\ge$)。
  - 3. 设极限为 $A$，对递推公式两边取极限解出 $A$。

**适用场景**：由递推公式给出的数列 ($x_{n+1} = f(x_n)$)。

=== 3.5. 柯西收敛准则 (Cauchy Criterion) ===

这是判断极限存在的**充要条件**，且不需要预先知道极限值。

**定理内容**：
数列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n, m > N$ 时，恒有 $|x_n - x_m| < \varepsilon$。

**适用场景**：
  * 级数收敛性的判定。
  * 难以找到具体的极限值 $A$，但需要证明极限存在时。

=== 3.6. 等价无穷小替换 (Equivalent Infinitesimals) ===

在 $x \to 0$ 时，利用等价关系简化计算。

**常用公式**：
  * $ \sin x \sim x $
  * $ \tan x \sim x $
  * $ \arcsin x \sim x $
  * $ \ln(1+x) \sim x $
  * $ e^x - 1 \sim x $
  * $ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $
  * $ (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x $

**注意**：通常只在**乘除**因子中使用，加减法中使用需非常小心（只有当两项之差不是高阶无穷小时才可用）。

=== 3.7. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule) ===

处理 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式的利器。

**定理内容**：
若 $\lim f(x) = 0, \lim g(x) = 0$ (或均为 $\infty$)，且 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 存在，$g'(x) \neq 0$，则：
$ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} $
(前提是右边的极限存在或为无穷大)。

**适用场景**：函数可导，且求导后形式变简单的情况。

=== 3.8. 泰勒公式 (Taylor Expansion) ===

处理复杂极限（尤其是复合函数、加减法消去低阶项）的最强工具。

**方法**：
将函数在某点（通常是 0）展开为多项式：
$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $

**适用场景**：
  * 洛必达法则求导多次非常繁琐时。
  * 分子或分母由多个函数加减组成，存在相互抵消的情况（“变变大，变变小”）。

=== 3.9. 施托尔兹定理 (Stolz-Cesàro Theorem) ===

可以看作是**数列**形式的洛必达法则。

**定理内容**：
设 $\{b_n\}$ 是严格单调递增趋于 $+\infty$ 的数列。如果：
$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L $
那么：
$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L $

**适用场景**：
  * $\frac{\infty}{\infty}$ 型的数列极限。
  * 分母通常是 $n$ 或 $n^k$ 等形式。

=== 3.10. 利用连续性 (Continuity) ===

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则极限等于函数值：
$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $

**适用场景**：初等函数在其定义域内通常都是连续的，直接代入即可。

=== 3.11. 海涅定理 (Heine Theorem) ===

也称为“归结原则”，连接了函数极限与数列极限。

**定理内容**：
$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充要条件是：对于任意满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ ($x_n \neq x_0$) 的数列 $\{x_n\}$，都有 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。

**适用场景**：
  * 用于证明函数极限**不存在**（找到两个趋于 $x_0$ 的数列，其对应的函数值趋于不同的极限）。

===== 4. 两个重要极限 =====

微积分中有两个极其重要的极限公式，它们是导数运算的基础。

==== 4.1 第一个重要极限 ====
涉及三角函数的极限，主要用于解决 $\frac{0}{0}$ 型问题。

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

**证明思路（几何法/夹逼准则）**：
在单位圆中，当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，比较三角形面积与扇形面积可得不等式：
$$ \sin x < x < \tan x $$
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同时除以 $\sin x$ 并取倒数，得到：
$$ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 $$
当 $x \to 0$ 时，$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ 且 $\lim_{x \to 0} 1 = 1$。
根据夹逼定理，可得 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

**引申公式**：
  * $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
  * $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
  * $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

==== 4.2 第二个重要极限 ====
涉及幂指函数的极限，是自然对数底 $e$ 的定义来源，用于解决 $1^\infty$ 型问题。

$$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$
或者等价形式（当 $x \to 0$）：
$$ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$
其中 $e \approx 2.71828...$ 是一个无理数。

这个极限的证明过程主要分为两步：首先证明**数列**极限存在（即当 $x$ 取正整数 $n$ 时），然后将其推广到**实数**范围。

== 第一步：证明数列极限存在 ==

我们考察数列 $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$。根据**单调有界准则**，我们需要证明该数列是**单调递增**且**有上界**的。

 1. 证明数列单调递增 

利用**牛顿二项式定理**展开 $x_n$：

$ x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + C_n^1 \frac{1}{n} + C_n^2 \frac{1}{n^2} + \dots + C_n^n \frac{1}{n^n} $

将组合数展开并整理每一项：

$ x_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \dots + \frac{1}{n!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\dots\left(1 - \frac{n-1}{n}\right) $

同理，写出 $x_{n+1}$ 的展开式：

$ x_{n+1} = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) + \dots + \frac{1}{n!}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)\dots\left(1 - \frac{n-1}{n+1}\right) + \frac{1}{(n+1)!}\dots $

**比较 $x_n$ 和 $x_{n+1}$：**
  * **项数比较**：$x_{n+1}$ 比 $x_n$ 多了一项（第 $n+2$ 项），且该项为正数。
  * **对应项比较**：对于每一项，由于 $n+1 > n$，所以 $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$，进而 $1 - \frac{k}{n+1} > 1 - \frac{k}{n}$。

因此，$x_{n+1}$ 的每一项都大于或等于 $x_n$ 的对应项。
**结论**：$x_n < x_{n+1}$，即数列单调递增。

 2. 证明数列有上界 

回到 $x_n$ 的展开式，因为括号内的因子 $(1 - \frac{k}{n})$ 都小于 1，去掉这些因子后数值变大：

$ x_n < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} $

利用放缩法，当 $k \ge 2$ 时，$k! \ge 2^{k-1}$，所以 $\frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^{k-1}}$：

$ x_n < 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) $

括号内是首项为 1、公比为 $1/2$ 的等比数列：

$ x_n < 1 + \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 + 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) < 3 $

**结论**：$x_n < 3$，即数列有上界。

 3. 数列极限结论 

根据**单调有界数列必收敛**定理，数列 $x_n$ 的极限存在。我们将这个极限值定义为常数 $e$：
$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $

== 第二步：推广到实数范围 (从 n 到 x) ==

设 $x$ 为任意正实数，令 $n = [x]$（$x$ 的整数部分），则有：
$ n \le x < n + 1 $

由此可得倒数关系：
$ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \le \frac{1}{n} $

进而得到底数的不等式：
$ 1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{x} \le 1 + \frac{1}{n} $

利用指数的单调性构造夹逼不等式：
$ \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} $

利用**夹逼定理**分别求左右两边的极限：

  * **右边极限**：
    $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)\right] = e \cdot 1 = e $

  * **左边极限**：
    令 $t = n+1$，则 $n = t-1$。
    
$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t-1} = \lim_{t \to \infty} \frac{(1 + 1/t)^t}{1 + 1/t} = \frac{e}{1} = e $

**最终结论**：
由于左右两边的极限都等于 $e$，根据夹逼定理：
$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $