====== 极坐标系的微积分 (Calculus in Polar Coordinates) ======

极坐标系提供了一种不同于笛卡尔坐标系（直角坐标系）的视角，特别适合处理圆形、螺旋形或花瓣形曲线。本章讲解如何在极坐标下进行微分和积分运算。

===== 1. 基础回顾：坐标转换 =====

在极坐标中，点的位置由 $(r, \theta)$ 决定，其中 $r$ 是到原点（极点）的距离，$\theta$ 是与极轴（通常是 x 轴正方向）的夹角。

**转换公式**：
$$ x = r \cos \theta $$
$$ y = r \sin \theta $$
$$ r^2 = x^2 + y^2 $$
$$ \tan \theta = \frac{y}{x} $$

> **注意**：在微积分中，极坐标方程通常表示为 $r = f(\theta)$。

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===== 2. 极坐标的微分：切线斜率 =====

在直角坐标系中，切线斜率为 $\frac{dy}{dx}$。在极坐标中，我们需要利用参数方程求导法，将 $\theta$ 视为参数。

==== 2.1 推导过程 ====

已知 $x = r(\theta)\cos\theta$ 和 $y = r(\theta)\sin\theta$。
根据乘积法则（Product Rule）：

  *   $\frac{dx}{d\theta} = r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta$
  *   $\frac{dy}{d\theta} = r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta$

根据链式法则，切线斜率 $k$ 为：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta} $$

==== 2.2 关键结论 ====

  *   **水平切线 (Horizontal Tangent)**：当 $\frac{dy}{d\theta} = 0$ 且 $\frac{dx}{d\theta} \neq 0$ 时。
  *   **垂直切线 (Vertical Tangent)**：当 $\frac{dx}{d\theta} = 0$ 且 $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$ 时。
  *   **极点处的切线**：当曲线经过极点（即 $r=0$）时，公式简化为 $\frac{dy}{dx} = \tan\theta$。这意味着**在极点处的切线即为直线 $\theta = \alpha$**（其中 $\alpha$ 是使 $r(\alpha)=0$ 的角）。

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===== 3. 极坐标的积分：面积计算 =====

在直角坐标系中，我们累加的是矩形面积 ($y \cdot dx$)；而在极坐标系中，我们累加的是**微小扇形**的面积。

==== 3.1 面积元素 (Area Element) ====

一个半径为 $r$，圆心角为 $\Delta \theta$ 的扇形面积公式为：
$$ A = \frac{1}{2} r^2 \Delta \theta $$

当 $\Delta \theta \to d\theta$ 时，面积微元为：
$$ dA = \frac{1}{2} [f(\theta)]^2 d\theta $$

==== 3.2 面积公式 ====

若曲线 $r = f(\theta)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $0 \le \beta - \alpha \le 2\pi$（即不重叠覆盖），则曲线与射线 $\theta=\alpha, \theta=\beta$ 围成的面积为：

$$ A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^2 d\theta = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} [f(\theta)]^2 d\theta $$

==== 3.3 两曲线间的面积 ====

若区域由外曲线 $r_{out}(\theta)$ 和内曲线 $r_{in}(\theta)$ 围成（即 $r_{out} \ge r_{in} \ge 0$），则面积为：

$$ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left( [r_{out}(\theta)]^2 - [r_{in}(\theta)]^2 \right) d\theta $$

> **警告**：是**平方的差** $(r_{out}^2 - r_{in}^2)$，而不是差的平方 $(r_{out} - r_{in})^2$。

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===== 4. 极坐标的弧长 (Arc Length) =====

我们要计算曲线 $r = f(\theta)$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 的长度。

==== 4.1 推导思路 ====

利用弧长微分公式 $ds^2 = dx^2 + dy^2$。
将 $x, y$ 对 $\theta$ 的导数代入并化简（利用 $\sin^2 + \cos^2 = 1$）：

$$ (dx)^2 + (dy)^2 = \left( (r'\cos\theta - r\sin\theta)^2 + (r'\sin\theta + r\cos\theta)^2 \right) (d\theta)^2 $$
展开合并后，交叉项抵消，得到简洁形式：
$$ ds^2 = (r^2 + (r')^2) (d\theta)^2 $$

==== 4.2 弧长公式 ====

$$ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} d\theta $$

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===== 5. 旋转曲面面积 (Surface Area of Revolution) =====

当极坐标曲线绕极轴（x轴）旋转一周形成曲面时。

**公式**：
$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y \ ds = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi (r\sin\theta) \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta $$

*   如果是绕 $y$ 轴（$\theta = \pi/2$）旋转，则将公式中的 $y$ 换成 $x$ ($r\cos\theta$)。

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===== 6. 总结与对比 =====

^ 概念 ^ 直角坐标系 ($y=f(x)$) ^ 极坐标系 ($r=f(\theta)$) ^
| **微元** | $dx$ (宽度) | $d\theta$ (角度) |
| **导数** | $y'$ | $\frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$ |
| **面积** | $\int y dx$ | $\int \frac{1}{2}r^2 d\theta$ |
| **弧长** | $\int \sqrt{1+(y')^2} dx$ | $\int \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta$ |

===== 7. 经典例题：心形线 (Cardioid) =====

**题目**：求心形线 $r = 1 + \cos\theta$ 的全长和围成的面积。

**1. 面积计算**：
利用对称性，计算上半部分 ($0$ 到 $\pi$) 再乘以 2。
$$ A = 2 \int_0^\pi \frac{1}{2} (1+\cos\theta)^2 d\theta = \int_0^\pi (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta $$
利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，积分得：
$$ A = [\theta + 2\sin\theta + \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta]_0^\pi = \frac{3}{2}\pi $$

**2. 弧长计算**：
$r = 1+\cos\theta \implies r' = -\sin\theta$
$$ r^2 + (r')^2 = (1+\cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta $$
利用半角公式 $2+2\cos\theta = 4\cos^2(\theta/2)$。
$$ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{4\cos^2(\frac{\theta}{2})} d\theta = 2 \int_0^{2\pi} |\cos(\frac{\theta}{2})| d\theta $$
注意绝对值，或者利用对称性算 $0$ 到 $\pi$ 再乘以 2。
$$ L = 2 \times 2 \int_0^\pi \cos(\frac{\theta}{2}) d\theta = 4 [2\sin(\frac{\theta}{2})]_0^\pi = 8 $$