====== 无穷级数与泰勒级数 (Infinite Series & Taylor Series) ======

本页面总结了无穷级数的定义、敛散性检验方法、幂级数策略以及泰勒公式。

===== 1. 级数的基本概念 =====

**定义**：
一个级数到第 $n$ 项的部分和 (Partial Sum) 定义为：
$$ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $$

如果数列 $\{S_n\}$ 收敛，即 $S = \lim_{n\to\infty} S_n$ 存在，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且其和为 $S$。

===== 2. 特殊级数与基础检验法 =====

==== 2.1 几何级数 (Geometric Series) ====
形式：$a + ar + ar^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n$

  *   **收敛条件**：当 $|r| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-r}$。
  *   **发散条件**：当 $|r| \ge 1$ 时发散。

==== 2.2 第 n 项检验法 (n-th Term Test) ====
用于判定**发散**的重要工具。
  *   如果 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$，则级数 $\sum a_n$ **发散**。
  *   > **注意**：如果 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，**不能**判定级数收敛（例如调和级数 $\sum 1/n$ 是发散的）。

==== 2.3 p-级数 (p-Series) ====
形式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ (其中 $p>0$)

*   **收敛**：当 $p > 1$ 时。
*   **发散**：当 $p \le 1$ 时。

===== 3. 正项级数检验法 =====

当级数各项均为正数时，可使用以下方法。

==== 3.1 积分检验法 (Integral Test) ====
设 $a_n = f(n)$，其中 $f(x)$ 是连续、正值且**递减**的函数（对 $x \ge 1$）。
则 $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ **同敛散**（要么同时收敛，要么同时发散）。

==== 3.2 基本比较检验法 (Direct Comparison Test) ====
设 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都是正项级数，且对所有 $n$ 有 $b_n \ge a_n$：
  -  若大级数 $\sum b_n$ 收敛 $\implies$ 小级数 $\sum a_n$ 也收敛。
  -  若小级数 $\sum a_n$ 发散 $\implies$ 大级数 $\sum b_n$ 也发散。

==== 3.3 极限比较检验法 (Limit Comparison Test) ====
设 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都是正项级数。如果存在正数 $k$ 使得：
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k $$
则两个级数**同敛散**。

===== 4. 任意项级数与绝对收敛 =====

==== 4.1 交错级数检验法 (Alternating Series Test) ====
对于交错级数（各项符号正负交替），如果满足以下两个条件：
1.  $a_{n+1} \le a_n$ (各项绝对值递减)
2.  $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
则该交错级数收敛。

==== 4.2 绝对收敛 (Absolute Convergence) ====
  *   **定义**：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称 $\sum a_n$ 为**绝对收敛**。
  *   **定理**：如果一个级数绝对收敛，那么它一定是收敛的。

==== 4.3 比值检验法 (Ratio Test) ====
适用于包含 $n!$ 或 $c^n$ 的级数。计算极限 $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|$：
  - 若 $L < 1$，级数**绝对收敛**。
  -  若 $L > 1$，级数**发散**。
  -  若 $L = 1$，**判定失效**（需改用其他方法）。

==== 4.4 根值检验法 (Root Test) ====
适用于包含 $n$ 次方 $(...)^n$ 的级数。计算极限 $L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n|}$：
  -  若 $L < 1$，级数**绝对收敛**。
  -  若 $L > 1$，级数**发散**。
  -  若 $L = 1$，**判定失效**。

===== 5. 幂级数解题策略 (Strategy for Series) =====

幂级数形式：$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

根据图片提供的步骤，判断级数敛散性的通用流程如下：

  - **第 1 步：第 n 项检验**
    检查 $\lim_{n\to\infty} a_n$。如果不等于 0，直接判定**发散**。如果等于 0，进入第 2 步。

  - **第 2 步：检查特殊级数**
    -   是否为**几何级数** $\sum ar^n$？($|r|<1$ 收敛)
    -   是否为 **p-级数** $\sum \frac{1}{n^p}$？($p>1$ 收敛)

  - **第 3 步：正项级数检验**
    如果是正项级数，选择以下一种：
    -   **比较/极限比较法**：适合与 $p$ 级数或几何级数对比。
    -   **比值检验法**：适合含 $n!$ 或 $c^n$ 的级数。
    -   **根值检验法**：适合含 $n$ 次方的级数。
    -   **积分检验法**：适合 $a_n$ 容易积分且递减的函数。

  - **第 4 步：交错级数检验**
    如果是交错级数：
    -  使用**交错级数检验法**判断是否收敛。
    -  研究 $\sum |a_n|$ 来判断是否**绝对收敛**。

  - **第 5 步：幂级数收敛区间**
    对于 $\sum a_n x^n$：
    -  使用**比值检验法**或**根值检验法**求出收敛半径 $R$。
    -  **必须**单独检查区间的两个端点是否收敛。

===== 6. 泰勒与马克劳林级数 (Taylor & Maclaurin Series) =====

==== 6.1 泰勒逼近 (Taylor Approximation) ====
函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的展开：
$$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

==== 6.2 马克劳林逼近 (Maclaurin Approximation) ====
即 $a=0$ 时的泰勒公式：
$$ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

==== 6.3 带有余项的泰勒公式 ====
$$ f(x) = P_n(x) + R_n(x) $$
其中余项（拉格朗日余项）为：
$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$
($c$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的某个数)

==== 6.4 常见函数的级数展开 ====
(对任何 $|x|<1$ 或特定范围)

  *   **指数函数**：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
  *   **正弦函数**：$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
  *   **余弦函数**：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
  *   **几何级数**：$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ (仅当 $|x|<1$)

> **警告**：一个函数的泰勒级数，对一些或全部的 $x$ 值可能会发散。