====== 2 实数理论 ======

本章节基于 戴德金分划理论 建立严格的实数系统，定义了序关系与四则运算，并在此基础上重新阐述了初等函数的定义与性质。

===== 2.1 实数及其顺序 =====

==== 1. Dedekind 分划与无理数定义 ====

=== 分划定义的引入 ===

设 A, B 是两个数集，约定：

$$
\begin{cases}
A < B \Leftrightarrow \forall a \in A,\ \forall b \in B,\ a < b, \\
A \le B \Leftrightarrow \forall a \in A,\ \forall b \in B,\ a \le b.
\end{cases}
$$

若有理数集 Q 的两个子集 A, A' 满足：

  - (i) A ≠ ∅，A' ≠ ∅，且 Q = A ∪ A'
  - (ii) A < A'

则称 A | A' 是 Q 的一个 Dedekind 分划。



=== 实数的定义 ===

  * **有理数：**
若 A 有最大数，或 A' 有最小数 r，则该分划定义有理数 r。

  * **无理数：**
若分划不以任何有理数为界数（即 A 无最大数且 A' 无最小数），则定义一个无理数 α。

  * **实数系 R：**
有理数分划之全体。记实数为 α = A | A'。



=== 例 1：有理数 2 的 Dedekind 分划 ===

定义：

$$
A = \{ q \in Q \mid q < 2 \},
\quad
A' = \{ q \in Q \mid q \ge 2 \}.
$$

则：

  * A, A' 非空；
  * Q = A ∪ A'；
  * A < A'；
  * A' 有最小数 2。

因此，该分划定义的实数是有理数 2。



=== 例 2：无理数 √2 的 Dedekind 分划 ===

定义：

$$
A = \{ q \in Q \mid q < 0 \text{ 或 } q^2 < 2 \},
$$

$$
A' = \{ q \in Q \mid q > 0 \text{ 且 } q^2 > 2 \}.
$$

则：

  * A, A' 非空；
  * Q = A ∪ A'；
  * 对任意 a ∈ A, b ∈ A'，有 a < b；
  * A 无最大数；
  * A' 无最小数。

因此，该分划不以任何有理数为界，所定义的实数为无理数 √2。



=== Dedekind 分划与极限问题 ===

在有理数集 Q 中，存在单调有界但不收敛的数列，例如：

$$
1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\ \dots
$$

该数列在 Q 中没有极限，但可诱导一个 Dedekind 分划：

$$
A = \{ q \in Q \mid \exists n,\ q < a_n \},
\quad
A' = Q \setminus A.
$$

该分划满足：

  * A < A'；
  * A 无最大数，A' 无最小数。

因此，该分划在实数系 R 中定义一个实数 α，并将 α 作为该数列的极限。

由此，Dedekind 分划保证了：

  * 每个单调有界数列在 R 中必有极限；
  * 实数系 R 具有完备性。

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^ 层次 ^ 内容 ^ 含义（简单解释） ^
| 1 | **Dedekind 分划（定义）** | 把所有有理数 Q 分成 $A | A'$ 两部分，左边都小、右边都大，用这个“切口”本身来定义一个数。 |
| 2 | **实数系 R** | 所有 Dedekind 分划的集合；每一个分划对应一个实数，切在有理数上是有理数，切不到的是无理数。 |
| 3 | **Dedekind 完备性** | R 中任意非空且有上界的集合，都存在一个上确界；这是由分划定义“自动保证”的性质。 |
| 4 | **单调有界定理** | 每个单调且有界的实数数列在 R 中必有极限；该极限由数列诱导的 Dedekind 分划给出。 |

==== 2. 序关系 ====

设 $\alpha = A \mid A', \beta = B \mid B'$：
  *   **大小定义：** 若 $A \subset B$，则 $\alpha \leqslant \beta$。若 $A \subsetneq B$，则 $\alpha < \beta$。
  *   **性质 ：**
    *   自反性、传递性、反对称性。
    *   **完全性：** $\alpha < \beta, \alpha = \beta, \alpha > \beta$ 恰有一个成立。
    *   **稠密性：** $\alpha < \beta \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q}: \alpha < r < \beta$。
    *   **逼近性：** $\forall \varepsilon > 0, \exists r, s \in \mathbb{Q}$，使 $r < \alpha < s, s - r < \varepsilon$。
    *   **Archimedes 性质：** $\exists n \in \mathbb{N}, n > \alpha$。

**连续性定理 (Dedekind)：**
$\mathbb{R}$ 的任一分划 $A \mid A'$ 均有一界数 $\beta$（$\beta$ 为 $A$ 的最大数或 $A'$ 的最小数）。这体现了实数系的完备性。

==== 3. 确界与广义实数 ====

**定义：**
  *   **上确界 ($\sup A$)：** 最小上界。
  *   **下确界 ($\inf A$)：** 最大下界。
  *   **广义实数系 $\overline{\mathbb{R}}$：** $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$。(加两个无穷大符号，称之为广义)

**确界定理 (2.1.6)：**
$\mathbb{R}$ 中任何非空子集 $A$ 在 $\overline{\mathbb{R}}$ 中必有上确界和下确界。

**确界的性质与公式：**
$$ -\infty \leqslant \inf A \leqslant \sup A \leqslant \infty \tag{2} $$
$$ A \leqslant B \Rightarrow \sup A \leqslant \inf B \tag{3} $$
$$ A \subset B \Rightarrow \inf A \geqslant \inf B, \quad \sup A \leqslant \sup B \tag{4} $$

**确界的充要条件：**
$$
\begin{cases}
M = \sup A \Leftrightarrow A \leqslant M \text{ 且 } \forall b \in (-\infty, M), \exists a \in A \cap (b, M] \\
m = \inf A \Leftrightarrow A \geqslant m \text{ 且 } \forall b \in (m, \infty), \exists a \in A \cap [m, b)
\end{cases} \tag{5a}
$$

**二元集记号：**
$$ a \vee b = \max \{a, b\}, \quad a \wedge b = \min \{a, b\} \tag{6} $$

=====  2.2 有理运算 =====

==== 1. 加法与乘法定义 ====

利用有理数逼近定义实数运算：

**加法：**

$$ \alpha + \beta = \sup \{a + b : a, b \in \mathbb{Q}, a < \alpha, b < \beta\} \tag{7} $$

**乘法 (针对正数)：**

$$ \alpha \beta = \sup \{ab : a, b \in \mathbb{Q}, 0 < a < \alpha, 0 < b < \beta\} \tag{8} $$

*(其他情况通过符号法则定义)*

==== 2. 绝对值与不等式 ====

**定义：**
$$
|\alpha| = \begin{cases} \alpha & (\alpha \geqslant 0) \\ -\alpha & (\alpha < 0) \end{cases} \tag{9}
$$

**重要不等式：**
$$ \big| |\alpha| - |\beta| \big| \leqslant |\alpha - \beta| \tag{10} $$
$$ \left| \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \right| \leqslant \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i| \tag{10} $$

==== 3. 涉及无穷的运算约定 ====

$$
\begin{cases}
\infty + a = \infty \cdot b = \infty & (-\infty < a \leqslant \infty, b > 0) \\
-\infty + a = (-\infty) \cdot b = \infty \cdot (-b) = -\infty & (-\infty \leqslant a < \infty, b > 0) \\
a / (\pm \infty) = 0 & (a \in \mathbb{R})
\end{cases} \tag{11}
$$
*注：$\infty - \infty, \infty \cdot 0, a/0$ 无意义。*

==== 4. 集合运算与确界 ====

**集合运算定义：**
$$
\begin{cases}
A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\} \\
AB = \{ab : a \in A, b \in B\} \\
-A = \{-a : a \in A\}, \quad A^{-1} = \{a^{-1} : a \in A\} (0 \notin A)
\end{cases} \tag{12}
$$

**确界运算性质：**
$$
\begin{cases}
\sup(A + B) = \sup A + \sup B \\
\inf(A + B) = \inf A + \inf B \\
\sup(-A) = -\inf A
\end{cases} \tag{13}
$$

若 $A, B \subset (0, \infty)$：
$$
\begin{cases}
\sup AB = \sup A \sup B \\
\inf AB = \inf A \inf B \\
\sup A^{-1} = (\inf A)^{-1} & (\inf A \neq 0)
\end{cases} \tag{14}
$$

**函数确界不等式：**
$$
\begin{cases}
\sup_{x \in X} [f(x) + g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) \\
\inf_{x \in X} [f(x) + g(x)] \geqslant \inf_{x \in X} f(x) + \inf_{x \in X} g(x)
\end{cases} \tag{15}
$$
若 $f, g \geqslant 0$：
$$ \sup_{x \in X} [f(x)g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) \sup_{x \in X} g(x) \tag{16} $$