====== 多重积分 (Multiple Integrals) ======

多重积分是单变量定积分在多维空间中的推广。二重积分通常用于计算曲面下的体积或平面薄片的质量；三重积分通常用于计算立体的质量或体积。

===== 1. 二重积分 (Double Integrals) =====

二重积分是对定义在二维区域 $D$ 上的函数 $f(x,y)$ 的积分，记作：
$$ \iint_D f(x,y) \, dA $$
其中 $dA$ 是面积微元，在直角坐标系中 $dA = dx\,dy$ 或 $dy\,dx$。

==== 1.1 富比尼定理 (Fubini's Theorem)与累次积分 ====
计算二重积分的关键是将它转化为**累次积分 (Iterated Integrals)**。根据区域 $D$ 的形状，通常分为两种类型：

=== X-型区域 (Type I) ===
区域由上下两条曲线 $y=g_1(x)$ 和 $y=g_2(x)$ 以及左右直线 $x=a$ 和 $x=b$ 围成。
$$ D = \{ (x,y) \mid a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x) \} $$
积分顺序为**先 $y$ 后 $x$**：
$$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \left[ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right] dx $$
**技巧：** 沿 $y$ 轴方向画一条穿过区域的箭头，箭头进入的边界是下限，离开的边界是上限。

=== Y-型区域 (Type II) ===
区域由左右两条曲线 $x=h_1(y)$ 和 $x=h_2(y)$ 以及上下直线 $y=c$ 和 $y=d$ 围成。
$$ D = \{ (x,y) \mid c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y) \} $$
积分顺序为**先 $x$ 后 $y$**：
$$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_c^d \left[ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right] dy $$

==== 1.2 极坐标下的二重积分 (Polar Coordinates) ====
当积分区域 $D$ 是圆形、扇形或圆环，或者被积函数包含 $x^2+y^2$ 时，使用极坐标更方便。

**变换公式：**
*   $x = r \cos \theta$
*   $y = r \sin \theta$
*   $x^2 + y^2 = r^2$

**面积微元变换（重要）：**
$$ dA = dx\,dy = r \, dr \, d\theta $$
//注意：不要忘记乘以 $r$//。

**积分形式：**
如果区域 $D$ 可以表示为 $\alpha \le \theta \le \beta, h_1(\theta) \le r \le h_2(\theta)$，则：
$$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta $$

===== 2. 三重积分 (Triple Integrals) =====

三重积分是对定义在三维空间区域 $E$ 上的函数 $f(x,y,z)$ 的积分，记作：
$$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV $$

==== 2.1 直角坐标系 ====
通常的积分顺序有 $dz\,dy\,dx$, $dz\,dx\,dy$ 等 6 种。最常见的是先对 $z$ 积分（投影法）：
$$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \right] dA $$
其中 $D$ 是立体 $E$ 在 $xy$ 平面上的投影区域。

==== 2.2 柱面坐标 (Cylindrical Coordinates) ====
柱面坐标是极坐标在三维空间的延伸，适用于具有轴对称性的立体（如圆柱、圆锥）。

**变换公式：**
*   $x = r \cos \theta$
*   $y = r \sin \theta$
*   $z = z$

**体积微元：**
$$ dV = r \, dz \, dr \, d\theta $$

**积分形式：**
$$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} \int_{u_1(r,\theta)}^{u_2(r,\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta $$

==== 2.3 球面坐标 (Spherical Coordinates) ====
适用于球体、锥体或包含 $x^2+y^2+z^2$ 的区域。

**定义：**
*   $\rho$: 原点到点的距离 ($\rho \ge 0$)
*   $\theta$: 在 $xy$ 平面上的投影与 $x$ 轴的夹角 ($0 \le \theta \le 2\pi$)
*   $\phi$: 点与原点的连线与正 $z$ 轴的夹角 ($0 \le \phi \le \pi$)

**变换公式：**
*   $x = \rho \sin \phi \cos \theta$
*   $y = \rho \sin \phi \sin \theta$
*   $z = \rho \cos \phi$
*   $x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$

**体积微元（非常重要）：**
$$ dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$

**积分形式：**
$$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} \int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\dots) \, \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$

===== 3. 变量代换与雅可比行列式 (Change of Variables & Jacobian) =====

对于一般的坐标变换 $x = g(u,v), y = h(u,v)$，我们需要引入修正因子来保证积分值的正确性，这个因子就是**雅可比行列式 (Jacobian)** 的绝对值。

**雅可比行列式定义：**
$$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} $$

**变量代换公式：**
$$ \iint_R f(x,y) \, dA = \iint_S f(g(u,v), h(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \, du \, dv $$

**常见雅可比值回顾：**
*   极坐标：$J = r$
*   柱坐标：$J = r$
*   球坐标：$J = \rho^2 \sin \phi$

===== 4. 多重积分的应用 (Applications) =====

多重积分在几何和物理中有广泛应用。

^ 应用类型 ^ 公式 ^ 说明 ^
| **面积** (Area) | $A(D) = \iint_D 1 \, dA$ | 被积函数为 1 时的二重积分 |
| **体积** (Volume) | $V(E) = \iiint_E 1 \, dV$ | 被积函数为 1 时的三重积分 |
| **体积** (Volume under surface) | $V = \iint_D f(x,y) \, dA$ | 曲面 $z=f(x,y)$ 下方的体积 |
| **质量** (Mass) | $m = \iint_D \rho(x,y) \, dA$ | $\rho$ 为密度函数 |
| **质心** (Center of Mass) | $\bar{x} = \frac{1}{m} \iint_D x\rho(x,y) \, dA$ | 类似地求 $\bar{y}, \bar{z}$ |
| **转动惯量** (Moment of Inertia) | $I_z = \iiint_E (x^2+y^2)\rho(x,y,z) \, dV$ | 绕 z 轴旋转的惯量 |
| **曲面面积** (Surface Area) | $S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dA$ | 曲面 $z=f(x,y)$ 的表面积 |

===== 5. 解题策略总结 =====

1.  **画图**：这是最重要的一步。画出积分区域 $D$ 或 $E$。
2.  **选择坐标系**：
    *   矩形区域 $\to$ 直角坐标。
    *   圆形/扇形 $\to$ 极坐标。
    *   圆柱/圆锥 $\to$ 柱坐标。
    *   球体/锥体 $\to$ 球坐标。
3.  **确定积分限**：使用“穿箭法”（Ray tracing）。
    *   对于二重积分：固定 $x$，沿 $y$ 方向穿箭，进为下限，出为上限。
    *   对于三重积分：先投影到平面（如 $xy$ 面），确定 $z$ 的范围，再在投影面上确定 $x, y$ 的范围。
4.  **计算**：从内层向外层依次积分。