====== 多变量函数微分学 (Multivariable Differential Calculus) ======

本页面详细讲解多变量微积分的核心概念，包括极限、连续性、偏导数、链式法则、梯度、极值及拉格朗日乘数法。

===== 1. 多变量函数的极限 (Limits) =====

与单变量函数不同，多变量函数（如 $f(x,y)$）在趋近某一点 $(a,b)$ 时，必须保证**从任何路径**趋近该点，极限值都相同。

==== 1.1 极限的运算法则 ====
若 $\lim f = A$ 且 $\lim g = B$ 存在，则有以下性质（参考图片1）：

  * **加法法则：** $\lim(f + g) = \lim f + \lim g$
  * **常数倍：** $\lim(cf) = c \lim f$
  * **乘法法则：** $\lim(fg) = \lim f \lim g$
  * **除法法则：** $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ (前提是 $\lim g \neq 0$)

==== 1.2 计算极限的技巧：极坐标变换 ====
当处理 $(x,y) \to (0,0)$ 的极限问题时，极坐标变换是一个强有力的工具。

**例题：** 求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

**解析（参考图片2）：**
该式子属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式。对于多变量函数，洛必达法则不再适用。我们可以利用极坐标变换：
$$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r = \sqrt{x^2+y^2} $$
当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，等价于 $r \to 0$。

代入原式：
$$ \lim_{r\to 0} \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r} = \lim_{r\to 0} (r\cos\theta\sin\theta) = 0 $$
**结论：** 极限为 0。因为 $\cos\theta\sin\theta$ 是有界的，乘以趋近于 0 的 $r$，结果必然趋近于 0。

===== 2. 连续性 (Continuity) =====

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处连续，必须同时满足以下三个条件（参考图片3）：

  - 1. **极限存在：** $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$ 存在。
  - 2. **函数有定义：** $f(a,b)$ 有定义。
  - 3. **极限等于函数值：** $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$。

**定理：** 如果一个多变量函数由连续函数通过加、减、乘、除（分母不为0）或复合而成，则该函数在其定义域内连续。

===== 3. 偏导数 (Partial Derivatives) =====

偏导数描述了多变量函数沿坐标轴方向的变化率。

==== 3.1 定义 ====
根据导数的定义（参考图片4）：

**对 $x$ 的偏导数：** 把 $y$ 看作常数，对 $x$ 求导。
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h} $$

**对 $y$ 的偏导数：** 把 $x$ 看作常数，对 $y$ 求导。
$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h} $$

==== 3.2 几何意义 ====
  *   $f_x(a,b)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处，沿 $x$ 轴方向切线的斜率。
  *   $f_y(a,b)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处，沿 $y$ 轴方向切线的斜率。

===== 4. 多变量函数的链式法则 (Chain Rule) =====

当变量之间存在复合关系时，需要使用链式法则。

假设 $w = f(u, v)$，而 $u = g(x, y)$ 且 $v = h(x, y)$，则 $w$ 对 $x$ 的偏导数为（参考图片6）：

$$ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} $$

同理，对 $y$ 的偏导数为：
$$ \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} $$

**记忆技巧（树状图）：**
画出变量依赖图：$w \to (u, v) \to (x, y)$。求 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 时，找出所有从 $w$ 到 $x$ 的路径，将路径上的导数相乘，不同路径之间相加。

===== 5. 梯度与方向导数 (Gradient & Directional Derivative) =====

==== 5.1 梯度 (Gradient) ====
函数 $f(x,y)$ 的梯度是一个向量，定义为（参考图片7）：
$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} $$

**梯度的重要性质：**
  * $\nabla f$ 指向函数值增长**最快**的方向。
  * $|\nabla f|$ 表示该方向上的最大变化率。
  * $\nabla f$ 垂直于过该点的等高线（Level Curve）。

==== 5.2 方向导数 ====
函数 $f$ 在点 $P$ 沿单位向量 $\mathbf{u}$ 方向的变化率：
$$ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos \theta $$

===== 6. 极值与最优化 (Extrema & Optimization) =====

==== 6.1 寻找临界点 ====
类似于单变量微积分，多变量函数的极值通常出现在**临界点**，即梯度为零的点：
$$ \nabla f(x,y) = \mathbf{0} \implies f_x = 0 \text{ 且 } f_y = 0 $$

==== 6.2 经典例题：无约束优化 ====
**题目（参考图片5）：** 找出三个数 $x, y, z$，使它们的和是 120，而乘积最大。

**解法：**
1.  **建立函数与约束：** 目标函数 $P = xyz$，约束 $x+y+z=120$。
2.  **降元：** 由约束得 $z = 120 - x - y$。
3.  **代入目标函数：** $f(x,y) = xy(120-x-y) = 120xy - x^2y - xy^2$。
4.  **求偏导并令其为0：**
    *   $f_x = 120y - 2xy - y^2 = y(120-2x-y) = 0$
    *   $f_y = 120x - x^2 - 2xy = x(120-x-2y) = 0$
5.  **解方程组：** 排除 $x=0$ 或 $y=0$ 的情况（那样积为0，显然不是最大值），解得 $x=40, y=40$。
6.  **回代：** $z = 120 - 40 - 40 = 40$。
7.  **结论：** 三个数均为 40 时乘积最大，最大值为 $40^3 = 64000$。

==== 6.3 二阶导数检验 (Second Derivative Test) ====
为了判断临界点 $(a,b)$ 是极大值、极小值还是鞍点，我们需要计算**黑塞矩阵（Hessian）**的行列式 $D$：

$$ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2 $$

判定规则：
  * 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$ $\implies$ **局部极小值**
  * 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$ $\implies$ **局部极大值**
  * 若 $D < 0$ $\implies$ **鞍点 (Saddle Point)**
  * 若 $D = 0$ $\implies$ 检验失效
  * 
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===== 7. 拉格朗日乘数法 (Lagrange Multipliers) =====

当需要在约束条件 $g(x,y)=k$ 下求函数 $f(x,y)$ 的极值时，除了上述的“降元法”，更通用的方法是拉格朗日乘数法。

**核心思想：** 在极值点处，目标函数的等高线与约束曲线相切，即它们的梯度向量平行。

**方程组：**
$$ \nabla f = \lambda \nabla g $$
$$ g(x,y) = k $$

即求解：
  - $f_x = \lambda g_x$
  - $f_y = \lambda g_y$
  - $g(x,y) = k$

解出 $x, y, \lambda$，比较所有解点的函数值即可得到最大/最小值。