====== 向量场与向量微积分 (Vector Fields & Vector Calculus) ======

向量微积分是处理向量场的微分和积分的数学分支，广泛应用于物理学（电磁学、流体力学）和工程学。

===== 1. 向量场基础 (Vector Fields) =====

向量场是将空间中的每一点 $(x,y,z)$ 映射到一个向量 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 的函数。

  *   **二维向量场**：$\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j}$
  *   **三维向量场**：$\mathbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf{i} + Q(x,y,z)\mathbf{j} + R(x,y,z)\mathbf{k}$

**直观理解**：
  *   **速度场**：流体中每一点的流速向量。
  *   **力场**：引力场或电场，表示某点受到的力的大小和方向。

===== 2. 散度与旋度 (Divergence & Curl) =====

在介绍散度和旋度之前，我们需要引入**Del 算子 (Nabla Operator)** $\nabla$：
$$ \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k} $$

==== 2.1 散度 (Divergence) ====
散度是一个**标量**，描述了向量场在某一点是“发散”还是“汇聚”。

**定义**：
$$ \text{div } \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $$

**物理意义**：
  *   $\text{div } \mathbf{F} > 0$：该点是**源 (Source)**，流体从该点涌出（如气泵出口）。
  *   $\text{div } \mathbf{F} < 0$：该点是**汇 (Sink)**，流体向该点汇聚（如排水口）。
  *   $\text{div } \mathbf{F} = 0$：**无源场 (Incompressible)**，流入等于流出。

==== 2.2 旋度 (Curl) ====
旋度是一个**向量**，描述了向量场在某一点附近的旋转趋势。

**定义**：
$$ \text{curl } \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
展开后为：
$$ \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathbf{k} $$

**物理意义**：
  *   旋度向量的方向表示旋转轴的方向（右手定则）。
  *   旋度的大小表示旋转的强度（角速度的两倍）。
  *   若 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$，称该场为**无旋场 (Irrotational)**。

===== 3. 线积分 (Line Integrals) =====

线积分是对沿曲线 $C$ 分布的函数进行积分。

==== 3.1 标量线积分 ====
对标量函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $C$ 的积分，常用于计算沿曲线分布的质量（已知线密度）。
$$ \int_C f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt $$

==== 3.2 向量线积分 (Work) ====
计算向量场 $\mathbf{F}$ 沿曲线 $C$ 所做的**功 (Work)** 或流量。
$$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt $$

**计算形式**：
若 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$，则：
$$ \int_C P \, dx + Q \, dy + R \, dz $$

===== 4. 保守向量场 (Conservative Vector Fields) =====

如果向量场 $\mathbf{F}$ 是某个标量函数 $f$ 的梯度，即 $\mathbf{F} = \nabla f$，则称 $\mathbf{F}$ 为**保守场**，$f$ 称为**势函数 (Potential Function)**。

==== 4.1 性质 ====
1.  **路径无关性 (Path Independence)**：$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 的值只取决于起点和终点，与路径无关。
2.  **闭回路积分为零**：对于任意闭曲线 $C$，$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$。

==== 4.2 判定方法 ====
在单连通区域内，$\mathbf{F}$ 是保守场的充要条件是**旋度为零**：
$$ \text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0} $$
即（对于二维）：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。

==== 4.3 线积分基本定理 ====
这是微积分基本定理在向量场中的推广：
$$ \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\text{终点}) - f(\text{起点}) $$

===== 5. 格林定理 (Green's Theorem) =====

格林定理建立了平面闭曲线上的**线积分**与该曲线围成区域上的**二重积分**之间的联系。

**条件**：
  *   $C$ 是分段光滑的简单闭曲线。
  *   方向为**逆时针**（正向，区域在左侧）。
  *   $D$ 是 $C$ 围成的平面区域。

**公式**：
$$ \oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA $$

**应用**：
  - 简化复杂的线积分计算。
  - 计算平面区域的面积（取 $P=-y/2, Q=x/2$）。

===== 6. 散度定理 (Divergence Theorem) =====

散度定理（也称高斯公式）建立了闭曲面上的**通量 (Flux)** 与该曲面内部体积的**散度三重积分**之间的联系。

**条件**：
  *   $E$ 是空间简单立体区域。
  *   $S$ 是 $E$ 的边界曲面。
  *   方向为**外侧法向量** $\mathbf{n}$。

**公式**：
$$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \text{div } \mathbf{F} \, dV $$

**直观理解**：
流出闭曲面 $S$ 的总流量（通量）等于该立体 $E$ 内部所有“源”和“汇”的总和。

===== 7. 斯托克斯定理 (Stokes' Theorem) =====

斯托克斯定理建立了空间闭曲线上的**线积分**与以该曲线为边界的曲面上的**旋度曲面积分**之间的联系。

**公式**：
$$ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\text{curl } \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $$

**方向**：遵循右手定则（手指沿曲线 $C$ 方向，拇指指向曲面法向量 $\mathbf{n}$ 方向）。

===== 8. 核心定理总结表 =====

^ 定理 ^ 维度 ^ 边界积分 (Boundary) ^ 内部积分 (Interior) ^ 核心算子 ^
| **线积分基本定理** | 1D | 端点值之差 $f(B)-f(A)$ | 线积分 $\int_C \dots$ | 梯度 $\nabla f$ |
| **格林定理** | 2D | 闭曲线线积分 $\oint_C \dots$ | 平面二重积分 $\iint_D \dots$ | 2D 旋度 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ |
| **斯托克斯定理** | 3D | 空间闭曲线线积分 $\oint_C \dots$ | 曲面积分 $\iint_S \dots$ | 旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$ |
| **散度定理** | 3D | 闭曲面通量 $\iint_S \dots$ | 体积三重积分 $\iiint_E \dots$ | 散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ |