=====  2.3 初等函数 =====

==== 1. 基本初等函数 ====

  *   **多项式与有理函数：**

$$ P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i, \quad f(x) = P(x) / Q(x) \tag{17, 18} $$

  *   **幂函数 $x^\alpha$：**
    *   若 $\alpha = 1/n$，定义为算术根：
        $$ x^{1/n} = \sup \{\xi : \xi^n \leqslant x\} \quad (x > 0) \tag{19} $$
    *   若 $\alpha$ 为无理数：
$$
        x^\alpha = \begin{cases}
        \sup \{x^r : r \in \mathbb{Q} \cap (0, \alpha)\} & (x \geqslant 1) \\
        [(x^{-1})^\alpha]^{-1} & (0 < x < 1)
        \end{cases} \tag{20}
$$

  *   **指数函数 $a^x$：**
    *   $a^x = \sup \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r < x\}$ (当 $a>1$)。
    *   性质：$a^{x+y} = a^x a^y$。

  *   **对数函数 $\log_a x$：**
    *   定义为 $a^\xi = x$ 的根。
    *   公式：
$$ a^{\log_a x} = x \tag{24} $$
$$ \log_b x = \log_b a \log_a x, \quad \log_a x^\alpha = \alpha \log_a x \tag{25} $$
$$ x^\alpha = a^{\alpha \log_a x} \tag{27} $$

  *   **三角函数：**
    *   $\sin x$ 为周期 $2\pi$ 的奇函数。
    *   反三角函数关系：
$$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x \quad (|x| \leqslant 1) \tag{29} $$
$$ \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x \quad (|x| < \infty) $$

==== 2. 双曲函数 (Hyperbolic Functions) ====

**定义：**

$$
\begin{cases}
\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
\operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} \\
\operatorname{coth} x = \frac{1}{\operatorname{th} x} \quad (x \neq 0)
\end{cases} \tag{30}
$$

**恒等式：**

$$
\begin{cases}
\operatorname{sh}(x \pm y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y \\
\operatorname{ch}(x \pm y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y
\end{cases} \tag{31}
$$

$$ \operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1 \tag{32} $$
$$
\begin{cases}
\operatorname{sh} 2x = 2 \operatorname{sh} x \\
\operatorname{ch} 2x = 2 \operatorname{ch}^2 x - 1 = 2 \operatorname{sh}^2 x + 1
\end{cases} \tag{33}
$$

**反双曲函数 (对数表达式)：**
  *   **反双曲正弦：**
$$ \operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (x \in \mathbb{R}) \tag{34a} $$
  *   **反双曲余弦：**

$$ \operatorname{arch} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (x \geqslant 1) \tag{34b} $$

  *   **反双曲正切：**
$$ \operatorname{arth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad (|x| < 1) \tag{34c} $$
  *   **反双曲余切：**
$$ \operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1} \quad (|x| > 1) \tag{34d} $$