===== 第一部分：不定式极限 (Indeterminate Forms) =====

在极限计算中，直接代入往往会得到没有意义的形式，如 $0/0, \infty/\infty, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0$。这些统称为**不定式**。

==== 1. 核心工具：洛必达法则 (L'Hôpital's Rule) ====

这是处理不定式最直观的工具，但必须严格遵守使用条件。

**定理**：
若极限 $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 满足以下条件：
  - **类型匹配**：属于 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型；
  - **可导性**：$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$；
  - **存在性**：$\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）；

则有：
$$ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

> **警告**：
> 1. 千万不要用商的求导法则！是分子求导除以分母求导。
> 2. 使用前必须验证是否为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$。若 $\lim \frac{2}{0}$ 直接得 $\infty$，不可用洛必达。
> 3. 若一阶导数比值仍为不定式，可连续使用法则。

==== 2. 七大不定式解题策略 ====

我们将不定式分为三组，逐步转化为基本型 ($0/0, \infty/\infty$) 求解。

^ 类型 ^ 形式 ^ 转化策略 ^ 关键步骤 ^
| **基本型** | $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ | **直接洛必达** 或 **等价无穷小代换** | 分子分母分别求导 |
| **乘积型** | $0 \cdot \infty$ | **下放法** | $f \cdot g = \frac{f}{1/g}$ (把简单的放上面，复杂的倒数放下面) |
| **差值型** | $\infty - \infty$ | **通分** 或 **有理化** | 若有分母则通分；若有根号则有理化；若有 $e^x, \ln x$ 则提公因式 |
| **幂指型** | $1^\infty, \infty^0, 0^0$ | **取对数恒等式** | 利用 $u^v = e^{v \ln u}$ 将指数转化为乘积型 $0 \cdot \infty$ |

=== 2.1 典型例题解析 ===

**例 1 (幂指型 $1^\infty$)**：求 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$
  *   **变形**：原式 $= \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln(1+x)}$
  *   **指数部分极限**：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ 属于 $0/0$ 型。
  *   **洛必达**：$\lim \frac{1/(1+x)}{1} = 1$。
  *   **结果**：$e^1 = e$。

**例 2 (差值型 $\infty - \infty$)**：求 $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1})$
  *   **通分**：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$ (变为 $0/0$ 型)
  *   **代换**：分母中 $e^x - 1 \sim x$，故分母等价于 $x^2$。
  *   **化简后洛必达**：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \xrightarrow{L'H} \lim \frac{e^x - 1}{2x} \xrightarrow{L'H} \lim \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$。

==== 3. 进阶工具：泰勒公式 (Taylor Series) ====

当洛必达法则求导极其繁琐时（例如出现 $\sqrt{1+x^2}\sin x$ 等乘积），泰勒展开往往是“降维打击”。

**核心思想**：用多项式逼近复杂函数。
$$ f(x) = P_n(x) + o(x^n) $$

**常用麦克劳林展开 ($x \to 0$)**：
  *   $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
  *   $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
  *   $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
  *   $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
  *   $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)$

**解题原则**：
“上下同阶”。如果分母是 $x^3$，分子通常也需要展开到 $x^3$ 项，以消除高阶无穷小。

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===== 第二部分：反常积分 (Improper Integrals) =====

黎曼积分要求：1. 积分区间有限 $[a, b]$；2. 被积函数有界。
打破这两个条件，就产生了反常积分（广义积分）。

==== 1. 无穷限积分 (Infinite Intervals) ====

积分区间为无穷大，如 $[a, +\infty)$。

**定义**：
$$ \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx $$
  *   若极限存在且为有限数，称积分**收敛 (Convergent)**。
  *   若极限不存在或为 $\infty$，称积分**发散 (Divergent)**。

=== 1.1 重要的 P-积分判别法 (无穷限) ===

这是判断敛散性的标尺，务必熟记。

$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx $$

  *   当 **$p > 1$** 时，**收敛**。
  *   当 **$p \le 1$** 时，**发散**。

> **直观理解**：$x$ 趋于无穷大时，分母必须“增长得足够快”（$p>1$），函数曲线才能足够快地贴近 x 轴，使得下方的面积有限。

==== 2. 瑕积分 (Unbounded Functions) ====

被积函数在区间内无界。使函数趋于无穷的点 $c$ 称为**瑕点 (Singularity)**。

**定义**：
设 $b$ 为瑕点（即 $\lim_{x \to b^-} f(x) = \infty$）：
$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx $$

=== 2.1 重要的 P-积分判别法 (瑕积分) ===

注意这里与无穷限积分的结论**完全相反**！
设 $a$ 为瑕点（例如 $x=0$ 对于 $1/x^p$）：

$$ \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx $$

  *   当 **$0 < p < 1$** 时，**收敛**。
  *   当 **$p \ge 1$** 时，**发散**。

> **直观理解**：在 $x \to 0$ 时，分母不能“小得太快”。如果 $p$ 太大，函数值爆炸式增长，贴近 y 轴的面积就会变为无穷大。

==== 3. 敛散性判别法 (Convergence Tests) ====

很多时候我们积不出原函数，但需要知道积分是否收敛。

=== 3.1 比较判别法 (Direct Comparison Test) ===

设 $0 \le f(x) \le g(x)$：
  *   若大函数 $\int g(x)$ 收敛 $\implies$ 小函数 $\int f(x)$ 收敛。
  *   若小函数 $\int f(x)$ 发散 $\implies$ 大函数 $\int g(x)$ 发散。
  *   (记忆：大的收敛小的必收敛，小的撑死大的必撑死)

=== 3.2 极限比较判别法 (Limit Comparison Test) ===

这是最实用的方法。将复杂函数 $f(x)$ 与标准 P-积分函数 $g(x) = 1/x^p$ 进行比较。

若 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C$ ($0 < C < +\infty$)，则：
**$\int f(x) dx$ 与 $\int g(x) dx$ 同敛散**。

**实战步骤**：
1.  **抓大头**：观察 $f(x)$ 在 $x \to \infty$ 时的主要项。
2.  **定阶数**：确定等价的 $1/x^p$ 中的 $p$。
3.  **下结论**：根据 $p$ 与 1 的关系判断。

**示例**：判断 $\int_1^{+\infty} \frac{x}{1+x^3} dx$ 的敛散性。
1.  当 $x \to \infty$ 时，分子 $\sim x$，分母 $\sim x^3$。
2.  整体 $\sim \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$。
3.  因为 $p=2 > 1$，所以原积分**收敛**。

==== 4. 著名的反常积分 ====

=== 4.1 狄利克雷积分 (Dirichlet Integral) ===
$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} $$
  *   这是一个**条件收敛**的积分（绝对值发散，原积分收敛）。

=== 4.2 概率积分 (Gaussian Integral) ===
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$
  *   统计学正态分布的基础。

=== 4.3 Gamma 函数 ===
$$ \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx \quad (s > 0) $$
  *   阶乘的推广：$\Gamma(n+1) = n!$

===== 总结速查表 =====

^ 积分类型 ^ 形式 ^ 收敛条件 (P-积分) ^ 备注 ^
| **无穷限积分** | $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ | **$p > 1$** | 区间无限，看 $x$ 的高次幂 |
| **瑕积分** | $\int_0^a \frac{1}{x^p} dx$ | **$p < 1$** | 函数无界，看 $x$ 的低次幂 |