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====== 第二章 数据的表示和运算 ======

===== 2.1 数制与编码 =====

==== 2.1.1 进位计数制 ====

考点1:进制
|进制|数码|基数|位权|
|二进制|0,1|2|$2^k$|
|八进制|0,1,3,4,5,6,7|8|$8^k$|
|十进制|0,1,3,4,5,6,7,8,9|10|$10^k$|
|十六进制|0,1,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F|16|$16^k$|
考点2：进制的转换

|转换|技巧|例题|
|其他进制 → 十进制|按权展开|$(1011.01)_2$、$(735)_8$、$(2A3)_{16}$ 转十进制|
|十进制 → 其他进制|整数部分除基取余倒序，小数部分乘基取整正序|$(13.6875)_{10}$ 转二进制、$(156)_{10}$ 转八进制、$(254)_{10}$ 转十六进制|
|二进制 → 八进制|整数部分从右向左每三位一组，小数部分从左向右每三位一组|$(1011010.1101)_2$ 转八进制|
|八进制 → 二进制|每位数字展开成三位二进制|$(275)_8$ 转二进制|
|二进制 → 十六进制|整数部分从右向左每四位一组，小数部分从左向右每四位一组|$(11010110)_2$ 转十六进制|
|十六进制 → 二进制|每位数字展开成四位二进制|$(3F)_{16}$ 转二进制|
|八进制 ↔ 十六进制|先转二进制，再转目标进制|$(17)_8$ 转十六进制|


[[计算机组成与体系结构:数据的表示和运算:考点2例题答案]]


==== 2.1.2 真值与机器数 ====

**真值**：用正负号表示的数，如+1011、-1101

**机器数**：包含符号位和数值位两部分。符号位通常放在最高位（最左边），0表示正数，1表示负数。

一般含符号位一共8位表示一个字符，扩展知识点：[[计算机组成与体系结构:数据的表示和运算:ascii]]

==== 2.1.3 原码、反码、补码、移码 ====

|码制|运算规则|正数例子（+5）|负数例子（-5）|+0|-0|0-0|
|原码|符号位0正1负，数值部分不变；符号位参与运算|00000101|10000101|00000000|10000000|10000000|
|反码|正数同原码；负数符号位不变，其余位按位取反|00000101|11111010|00000000|11111111|11111111|
|补码|正数同原码；负数 = 反码 + 1；符号位参与运算|00000101|11111011|00000000|00000000|00000000|
|移码|补码符号位取反（常用于表示浮点阶码）|10000101|01111011|10000000|10000000|10000000|


<编辑定位>
===== 2.2 定点数的运算 =====

==== 2.2.1 定点数的加法与减法 ====

补码加减法是计算机中最基本的运算。

**补码加法公式：**
[X + Y]补 = [X]补 + [Y]补 (mod 2^(n+1))

**补码减法公式：**
[X - Y]补 = [X]补 + [-Y]补 = [X]补 - [Y]补 (mod 2^(n+1))

**溢出判断：**
当运算结果超出表示范围时发生溢出。判断溢出的方法：

1. **单符号位法**：
   - 正加正得负，或负加负得正，则溢出
   - 即：符号位的进位 ⊕ 最高数值位的进位 = 1 时溢出

2. **双符号位法（变形补码）**：
   - 使用两位符号位，00表示正，11表示负
   - 结果符号位为01表示正溢出，为10表示负溢出

3. **数值比较法**：
   - 两个同号数相加，若结果的符号与操作数不同，则溢出

**例题：** 设机器字长为8位（含1位符号位），X = +0.1011，Y = -0.0101，求X+Y和X-Y。

解：
[X]原 = 0.1011000，[X]补 = 0.1011000
[Y]原 = 1.0101000，[Y]补 = 1.1011000
[-Y]补 = 0.0101000

X + Y：
  0.1011000
+ 1.1011000
-----------
 10.0110000（舍弃进位）
= 0.0110000

X - Y：
  0.1011000
+ 0.0101000
-----------
  0.1110000

结果：X + Y = +0.0110，X - Y = +0.1110

==== 2.2.2 定点数的乘法运算 ====

**原码一位乘法**
原码乘法的符号和数值部分分开运算：
- 符号位：两数符号位异或
- 数值部分：绝对值相乘

算法步骤：
1. 被乘数取绝对值，乘数取绝对值
2. 根据乘数的末位决定是否加被乘数
3. 部分积和乘数一起右移一位
4. 重复n次（n为数值位数）

**补码一位乘法（Booth算法）**
Booth算法可以直接处理补码表示的数，不需要取绝对值。

算法规则（根据乘数的末两位判断）：
- 00或11：部分积右移一位
- 01：部分积加被乘数后右移一位
- 10：部分积减被乘数后右移一位

Booth算法的优点：
- 统一了原码和补码的乘法运算
- 可以处理任意符号的数
- 对连续的0或1有加速效果

==== 2.2.3 定点数的除法运算 ====

**原码恢复余数法**
除法运算需要比较被除数（余数）和除数的大小，如果够减则商1，不够减则商0并恢复余数。

算法步骤：
1. 符号位单独处理（异或）
2. 被除数和除数取绝对值
3. 被除数减去除数，若余数为正则商1，否则商0并恢复余数
4. 余数左移一位，重复上述过程

**原码不恢复余数法（加减交替法）**
恢复余数法需要回退，效率较低。不恢复余数法改进了这一过程：
- 当余数为负时，不恢复余数，而是继续左移并加上除数
- 当余数为正时，左移后减去除数

**补码除法**
补码除法需要考虑被除数和除数的符号，判断"够减"的条件更复杂。常用方法有：
- 补码交替除法
- 阵列除法器

===== 2.3 浮点数的表示与运算 =====

==== 2.3.1 浮点数的表示格式 ====

浮点数用于表示范围很大的数，采用科学计数法的形式：N = M × R^E

其中：
- M为尾数（mantissa），表示数的有效数字
- E为阶码（exponent），表示小数点的位置
- R为基数，通常为2

**IEEE 754标准格式**
IEEE 754是浮点数表示的国际标准，规定了单精度和双精度两种格式：

**单精度（32位）**：
- 符号位S：1位，0为正，1为负
- 阶码E：8位，移码表示，偏移量为127
- 尾数M：23位，隐含最高位1（规格化数）

**双精度（64位）**：
- 符号位S：1位
- 阶码E：11位，偏移量为1023
- 尾数M：52位

数值计算公式：
- 规格化数：(-1)^S × 1.M × 2^(E-偏移量)
- 非规格化数：(-1)^S × 0.M × 2^(1-偏移量)

**特殊值的表示**：
| 阶码 | 尾数 | 含义 |
|------|------|------|
| 全0 | 全0 | ±0 |
| 全0 | 非0 | 非规格化数 |
| 全1 | 全0 | ±∞ |
| 全1 | 非0 | NaN（非数） |

==== 2.3.2 浮点数的规格化 ====

**规格化的目的**
- 保证表示的唯一性
- 提高精度（充分利用尾数的位数）

**规格化形式**
对于二进制浮点数，规格化要求尾数的最高位为1（非规格化数除外）。

规格化判断：
- 原码：符号位后第一位必须是1
- 补码：符号位与第一位必须不同（对于正数第一位为1，负数第一位为0）

**规格化操作**
左规：当尾数过小（非规格化）时，尾数左移，阶码减小
右规：当尾数溢出时，尾数右移，阶码增大

==== 2.3.3 浮点数的运算 ====

**浮点数加减法步骤**：

1. **对阶**：使两个数的阶码相同，小阶向大阶看齐
   - 计算阶差ΔE = E₁ - E₂
   - 若ΔE > 0，则M₂右移ΔE位，E₂ = E₁
   - 若ΔE < 0，则M₁右移|ΔE|位，E₁ = E₂

2. **尾数运算**：对阶后的尾数进行加减运算

3. **规格化**：运算结果可能非规格化，需要进行规格化处理
   - 左规：尾数左移，阶码减1（直到规格化）
   - 右规：尾数右移，阶码加1（当尾数溢出时）

4. **舍入**：尾数右移时可能丢失低位，需要按一定规则舍入
   - 截断法：直接丢弃多余位
   - 舍入法：0舍1入
   - 恒置1法：最低位置1

5. **溢出判断**：阶码是否超出表示范围
   - 阶码上溢：结果太大，产生溢出错误
   - 阶码下溢：结果太小，当作0处理

**浮点数乘除法**

乘法：
- 阶码相加
- 尾数相乘
- 结果规格化和舍入

除法：
- 阶码相减
- 尾数相除
- 结果规格化和舍入

===== 2.4 算术逻辑单元（ALU） =====

==== 2.4.1 ALU的功能与结构 ====

算术逻辑单元（ALU）是运算器的核心部件，负责执行算术运算和逻辑运算。

**ALU的功能**：
- 算术运算：加法、减法、乘法、除法
- 逻辑运算：与、或、非、异或
- 移位运算：算术移位、逻辑移位、循环移位
- 比较运算：等于、大于、小于等

**ALU的结构**：
ALU主要由以下部分组成：
- 加法器：核心运算部件，用于实现加减法
- 逻辑运算电路：与门、或门、非门等
- 移位器：实现各种移位操作
- 标志寄存器：保存运算结果的状态信息

==== 2.4.2 加法器电路 ====

**半加器**
半加器实现两个一位二进制数的加法，不考虑低位进位。

真值表：
| A | B | 和S | 进位C |
|---|---|-----|-------|
| 0 | 0 |  0  |   0   |
| 0 | 1 |  1  |   0   |
| 1 | 0 |  1  |   0   |
| 1 | 1 |  0  |   1   |

逻辑表达式：S = A⊕B，C = AB

**全加器**
全加器实现两个一位二进制数加上低位进位的加法。

逻辑表达式：
S = A⊕B⊕Cᵢₙ
Cₒᵤₜ = AB + (A⊕B)Cᵢₙ

**串行加法器**
使用一个全加器，逐位进行加法运算。速度慢，但硬件成本低。

**并行加法器（行波进位加法器）**
使用多个全加器并联，同时计算各位的和，但进位串行传递。

延迟时间：t = n × t_FA（n为位数，t_FA为全加器延迟）

**先行进位加法器（CLA）**
通过逻辑电路提前计算进位，避免进位逐级传递。

进位生成信号：Gᵢ = AᵢBᵢ
进位传播信号：Pᵢ = Aᵢ⊕Bᵢ
进位公式：Cᵢ₊₁ = Gᵢ + PᵢCᵢ

通过展开递归，可以实现各级进位的并行计算，大大提高运算速度。

==== 2.4.3 运算器的组成 ====

**定点运算器的基本结构**：

1. **算术逻辑单元（ALU）**：执行运算
2. **通用寄存器组**：暂存操作数和运算结果
3. **状态寄存器（PSW）**：记录运算结果的状态
   - ZF（零标志）：结果为0
   - SF（符号标志）：结果为负
   - CF（进位/借位标志）：无符号运算溢出
   - OF（溢出标志）：有符号运算溢出
   - PF（奇偶标志）：结果的奇偶性
   - AF（辅助进位标志）：半字节进位
4. **数据总线**：传输数据
5. **移位器**：实现移位操作

**运算器的工作过程**：
1. 从寄存器或存储器取操作数
2. ALU执行运算
3. 结果送回寄存器或存储器
4. 设置状态标志

===== 2.5 例题分析 =====

**例题1**：将十进制数-58表示为8位二进制的原码、反码、补码和移码。

解：
58的二进制表示：00111010

原码：1 0111010 = 10111010
反码：1 1000101 = 11000101
补码：1 1000110 = 11000110
移码：0 1000110 = 01000110（补码符号位取反）

**例题2**：设X = 0.1101，Y = -0.1011，用补码计算X + Y和X - Y。

解：
[X]补 = 00.1101（使用双符号位）
[Y]补 = 11.0101
[-Y]补 = 00.1011

X + Y：
  00.1101
+ 11.0101
---------
 100.0010（舍弃进位）= 00.0010
结果：+0.0010

X - Y：
  00.1101
+ 00.1011
---------
  01.1000（符号位01，正溢出）

**例题3**：将十进制数-12.75转换为IEEE 754单精度浮点数格式。

解：
-12.75 = -1100.11₂ = -1.10011 × 2³

符号位S = 1（负数）
阶码E = 127 + 3 = 130 = 10000010₂
尾数M = 10011000000000000000000（23位）

IEEE 754表示：1 10000010 10011000000000000000000
十六进制表示：C14C0000H

**例题4**：已知浮点数X = 2^(-011) × 0.101100，Y = 2^(-010) × 0.111100，求X + Y。

解：
对阶：X的阶码-3，Y的阶码-2，X向Y对阶
X = 2^(-010) × 0.010110

尾数相加：
  00.010110
+ 00.111100
-----------
  01.010010

右规：尾数右移一位，阶码加1
X + Y = 2^(-001) × 0.101001

===== 2.6 本章重点总结 =====

**核心概念：**
- 各种数制之间的转换方法
- 原码、反码、补码、移码的定义和转换
- 定点数和浮点数的表示
- IEEE 754浮点数标准

**关键知识点：**
1. 进制转换：二进制、八进制、十六进制、十进制之间的转换
2. 码制转换：原码、反码、补码、移码之间的转换关系
3. 补码运算：补码加减法、溢出判断方法
4. 浮点数运算：对阶、尾数运算、规格化、舍入、溢出判断
5. ALU结构：加法器电路、标志位含义

**重要公式：**
- [X]补 + [Y]补 = [X+Y]补 (mod 2^(n+1))
- [X-Y]补 = [X]补 + [-Y]补
- IEEE 754：(-1)^S × 1.M × 2^(E-127)

**学习要点：**
- 熟练掌握各种码制之间的转换
- 理解补码的优势（统一加减法、唯一零表示）
- 掌握浮点数运算的完整流程
- 了解ALU的基本结构和工作原理

**思考题：**
1. 为什么计算机中普遍采用补码表示有符号数？
2. 浮点数加减法为什么要对阶？对阶的原则是什么？
3. 先行进位加法器为什么比行波进位加法器快？
4. IEEE 754标准中为什么要引入非规格化数？
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