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====== 第三章：数据表示与编码 ======

  * [[#3.1 数制与数制转换|3.1 数制与数制转换]]
  * [[#3.2 数值数据的编码|3.2 数值数据的编码]]
  * [[#3.3 浮点数表示|3.3 浮点数表示]]
  * [[#3.4 非数值数据的编码|3.4 非数值数据的编码]]
  * [[#3.5 数据校验码|3.5 数据校验码]]
  * [[#3.6 练习题|3.6 练习题]]

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===== 章节概述 =====

本章介绍计算机中数据的表示方法，包括各种数制、数制转换、数值数据的编码（原码、反码、补码）、浮点数表示、字符编码和校验码等内容。理解数据在计算机中的表示是掌握计算机系统知识的基础。

**本章重点**：
  - 二进制、八进制、十六进制的表示和转换
  - 原码、反码、补码的概念和计算
  - 浮点数的IEEE 754标准
  - ASCII码和Unicode编码

**本章难点**：
  - 补码的运算和溢出判断
  - 浮点数的存储格式
  - 海明码的原理

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===== 3.1 数制与数制转换 =====

====== 3.1.1 常用数制 ======

计算机内部使用二进制表示数据，但为了便于人类阅读和书写，常使用八进制和十六进制作为二进制的缩写形式。

==== 3.1.1.1 十进制（Decimal）====

十进制是人们日常生活中最常用的数制，使用0-9十个数字符号，基数为10，逢十进一。

**位权表示法**：

例如：$(123.45)_{10} = 1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 + 4 \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2}$

==== 3.1.1.2 二进制（Binary）====

二进制是计算机内部使用的数制，只使用0和1两个数字符号，基数为2，逢二进一。

**特点**：
  - 两个状态易于物理实现（如高低电平、有无磁性等）
  - 运算规则简单
  - 可靠性高

**位权表示法**：

例如：$(1011.01)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$

$= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = (11.25)_{10}$

<code>
二进制与十进制对照表：

二进制     十进制     二进制     十进制     二进制     十进制
─────────────────────────────────────────────────────────────
0000       0          0101       5       1010       10
0001       1          0110       6       1011       11
0010       2          0111       7       1100       12
0011       3          1000       8       1101       13
0100       4          1001       9       1110       14
                                         1111       15
</code>

==== 3.1.1.3 八进制（Octal）====

八进制使用0-7八个数字符号，基数为8，逢八进一。

**与二进制的关系**：一位八进制对应三位二进制

**应用**：早期计算机系统中常用于简化二进制表示，现较少使用。

==== 3.1.1.4 十六进制（Hexadecimal）====

十六进制使用0-9和A-F十六个符号（A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15），基数为16，逢十六进一。

**与二进制的关系**：一位十六进制对应四位二进制

**应用**：广泛用于表示内存地址、颜色值、机器码等。

<code>
数制对照表：

十进制    二进制      八进制    十六进制
──────────────────────────────────────
  0       0000        00         0
  1       0001        01         1
  2       0010        02         2
  3       0011        03         3
  4       0100        04         4
  5       0101        05         5
  6       0110        06         6
  7       0111        07         7
  8       1000        10         8
  9       1001        11         9
  10      1010        12         A
  11      1011        13         B
  12      1100        14         C
  13      1101        15         D
  14      1110        16         E
  15      1111        17         F
</code>

====== 3.1.2 数制转换 ======

==== 3.1.2.1 其他进制转十进制 ======

**方法**：按位权展开求和

**示例1**：将二进制 $(1101.01)_2$ 转换为十进制

$(1101.01)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}$

$= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = (13.25)_{10}$

**示例2**：将十六进制 $(2A.8)_{16}$ 转换为十进制

$(2A.8)_{16} = 2 \times 16^1 + 10 \times 16^0 + 8 \times 16^{-1}$

$= 32 + 10 + 0.5 = (42.5)_{10}$

==== 3.1.2.2 十进制转二进制 ======

**整数部分**：除2取余，逆序排列

**小数部分**：乘2取整，顺序排列

**示例**：将十进制 $(25.375)_{10}$ 转换为二进制

<code>
整数部分（25）：
        余数
25 ÷ 2 = 12 ... 1  ↑
12 ÷ 2 = 6  ... 0  │
6  ÷ 2 = 3  ... 0  │  逆序排列
3  ÷ 2 = 1  ... 1  │
1  ÷ 2 = 0  ... 1  ↓

结果：(25)10 = (11001)2

小数部分（0.375）：
         整数
0.375 × 2 = 0.75  ... 0  ↓
0.75  × 2 = 1.5   ... 1  │  顺序排列
0.5   × 2 = 1.0   ... 1  ↑

结果：(0.375)10 = (0.011)2

最终结果：(25.375)10 = (11001.011)2
</code>

==== 3.1.2.3 二进制与八进制、十六进制的转换 ======

**二进制转八进制**：整数部分从右向左每3位一组，小数部分从左向右每3位一组，不足补零。

**二进制转十六进制**：整数部分从右向左每4位一组，小数部分从左向右每4位一组，不足补零。

<code>
二进制 ↔ 八进制/十六进制示例：

二进制：  1011010.1101

转八进制：
  001 011 010 . 110 100
   1   3   2  .  6   4
 结果：(132.64)8

转十六进制：
  0101 1010 . 1101
    5    A  .   D
 结果：(5A.D)16
</code>

------

===== 3.2 数值数据的编码 =====

====== 3.2.1 机器数与真值 ======

**真值**：用正号、负号表示的数，如 +5、-7。

**机器数**：将符号数值化的数，用0表示正号，1表示负号。

<code>
真值与机器数示例：

真值        机器数（8位）
─────────────────────────
+5        0 0000101
-5        1 0000101
+127      0 1111111
-127      1 1111111

↑符号位（0为正，1为负）
</code>

====== 3.2.2 原码表示法 ======

**定义**：符号位加上数值的绝对值。

**特点**：
  - 简单直观
  - 0有两种表示：+0（00000000）和-0（10000000）
  - 加减运算复杂

**表示范围**（n位）：$-(2^{n-1}-1)$ 到 $+(2^{n-1}-1)$

<code>
8位原码示例：

十进制    原码（8位）
────────────────────
+0       00000000
-0       10000000
+1       00000001
-1       10000001
+127     01111111
-127     11111111
</code>

====== 3.2.3 反码表示法 ======

**定义**：
  - 正数的反码与原码相同
  - 负数的反码：符号位不变，数值位按位取反

**特点**：
  - 0有两种表示：+0（00000000）和-0（11111111）
  - 减法可以转换为加法

<code>
8位反码示例：

十进制    原码        反码
─────────────────────────────
+5       00000101   00000101
-5       10000101   11111010
+0       00000000   00000000
-0       10000000   11111111
+127     01111111   01111111
-127     11111111   10000000

计算示例：
  00000101 (+5)
+ 11111010 (-5反码)
───────────────
  11111111 (-0)
</code>

====== 3.2.4 补码表示法 ======

**定义**：
  - 正数的补码与原码相同
  - 负数的补码：反码加1（或原码符号位不变，数值位取反加1）

**特点**：
  - 0只有一种表示
  - 减法转换为加法，硬件实现简单
  - 现代计算机普遍采用

**表示范围**（n位）：$-2^{n-1}$ 到 $+(2^{n-1}-1)$

<code>
8位补码示例：

十进制    原码        反码        补码
────────────────────────────────────────
+5       00000101   00000101   00000101
-5       10000101   11111010   11111011
+0       00000000   00000000   00000000
-0       10000000   11111111   00000000
+127     01111111   01111111   01111111
-127     11111111   10000000   10000001
-128     不存在     不存在     10000000
</code>

**补码运算**：

<code>
补码加法示例：

计算 5 + (-3)：

  00000101    (+5补码)
+ 11111101    (-3补码)
───────────────
1 00000010    (进位舍弃)
结果：00000010 = +2 ✓

计算 (-5) + (-3)：

  11111011    (-5补码)
+ 11111101    (-3补码)
───────────────
1 11111000    (进位舍弃)
结果：11111000 → 取反加1 → 00001000 = -8 ✓
</code>

====== 3.2.5 移码表示法 ======

**定义**：在真值上加一个偏移量（常数）。n位移码的偏移量为 $2^{n-1}$。

**公式**：$[X]_{移} = 2^{n-1} + X$，其中 $-2^{n-1} \leq X < 2^{n-1}$

**特点**：
  - 保持了数据原有的大小顺序
  - 便于比较大小
  - 主要用于浮点数的阶码表示

<code>
8位移码示例（偏移量128）：

十进制    补码        移码
────────────────────────────
-128     10000000   00000000
-127     10000001   00000001
   ...      ...        ...
-1       11111111   01111111
0        00000000   10000000
+1       00000001   10000001
   ...      ...        ...
+127     01111111   11111111
</code>

------

===== 3.3 浮点数表示 =====

====== 3.3.1 浮点数表示格式 ======

浮点数用于表示实数，采用科学计数法的形式：$N = (-1)^S \times M \times R^E$

其中：
  - S：符号位（0为正，1为负）
  - M：尾数（有效数字）
  - R：基数（通常为2）
  - E：阶码（指数）

<code>
浮点数存储格式：

┌────────┬─────────────┬─────────────────┐
│  符号   │    阶码     │      尾数        │
│  (S)   │    (E)      │      (M)        │
└────────┴─────────────┴─────────────────┘
  1位      k位            n位
</code>

====== 3.3.2 规格化 ======

**规格化形式**：尾数的最高位为1（对于二进制）。

例如：$0.01101 \times 2^3$ 规格化为 $0.1101 \times 2^2$

**目的**：保证表示的唯一性，提高精度。

====== 3.3.3 IEEE 754标准 ======

IEEE 754是浮点数的国际标准，定义了单精度和双精度两种格式。

==== 3.3.3.1 单精度浮点数（32位）====

<code>
单精度格式（32位）：

┌──────┬───────────────────────┬──────────────────────────────────────┐
│  S   │         E(8位)        │              M(23位)                  │
│ 1位  │      偏移量127         │         隐含最高位1                    │
└──────┴───────────────────────┴──────────────────────────────────────┘

计算公式：$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}$

范围：约 ±1.18×10^-38 到 ±3.4×10^38
精度：约7位十进制有效数字
</code>

**特殊值**：
  - E=0, M=0：±0
  - E=255, M=0：±∞
  - E=255, M≠0：NaN（非数）
  - E=0, M≠0：非规格化数

==== 3.3.3.2 双精度浮点数（64位）====

<code>
双精度格式（64位）：

┌──────┬────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────┐
│  S   │         E(11位)         │              M(52位)                        │
│ 1位  │      偏移量1023         │         隐含最高位1                         │
└──────┴────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────┘
</code>

计算公式：$N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-1023}$

<code>
范围：约 ±2.23×10^-308 到 ±1.8×10^308
精度：约15-16位十进制有效数字
</code>

**示例**：将 -12.375 表示为IEEE 754单精度浮点数

<code>
步骤：
1. 转换为二进制：-12.375 = -1100.011
2. 规格化：-1.100011 × 2^3
3. 符号位 S = 1（负数）
4. 阶码 E = 3 + 127 = 130 = 10000010
5. 尾数 M = 10001100000000000000000

结果：
1 10000010 10001100000000000000000

十六进制：0xC1460000
</code>

------

===== 3.4 非数值数据的编码 =====

====== 3.4.1 ASCII码 ======

**ASCII**（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）是最常用的字符编码。

**特点**：
  - 使用7位二进制表示，共128个字符
  - 包括控制字符（0-31和127）和可打印字符（32-126）

<code>
ASCII码表（部分）：

十进制  字符      十进制  字符      十进制  字符      十进制  字符
────────────────────────────────────────────────────────────────────
48      '0'       65      'A'       97      'a'
49      '1'       66      'B'       98      'b'
...     ...       ...     ...       ...     ...
57      '9'       90      'Z'       122     'z'

重要控制字符：
0   NUL（空）       9   TAB（制表）    10  LF（换行）
13  CR（回车）      27  ESC（退出）    32  SP（空格）
</code>

**扩展ASCII**：使用8位表示，共256个字符，增加了一些欧洲语言的符号。

====== 3.4.2 Unicode编码 ======

**Unicode**是全球统一的字符编码标准，为世界上几乎所有字符分配唯一的数字编号。

**特点**：
  - 统一编码，跨平台、跨语言
  - 目前定义了超过100,000个字符
  - 包含ASCII作为子集

**UTF-8编码**：Unicode的一种变长编码方式，与ASCII兼容。

<code>
UTF-8编码规则：

Unicode范围            UTF-8字节序列
─────────────────────────────────────────
U+0000 ~ U+007F       0xxxxxxx
U+0080 ~ U+07FF       110xxxxx 10xxxxxx
U+0800 ~ U+FFFF       1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
U+10000 ~ U+10FFFF    11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

示例：
'A' (U+0041)     → 01000001
'中' (U+4E2D)    → 11100100 10111000 10101101 (E4 B8 AD)
</code>

====== 3.4.3 汉字编码 ======

**GB2312**：中国国家标准，收录6763个汉字和682个非汉字图形字符，双字节编码。

**GBK**：对GB2312的扩展，收录21003个汉字，兼容GB2312。

**GB18030**：最新国家标准，收录27484个汉字，单字节、双字节、四字节编码。

**Big5**：台湾地区的繁体汉字编码。

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===== 3.5 数据校验码 =====

====== 3.5.1 奇偶校验码 ======

**原理**：在数据位后增加一位校验位，使1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。

**特点**：
  - 能检测奇数位错误
  - 不能检测偶数位错误
  - 不能纠错

<code>
奇偶校验示例：

数据      奇校验      偶校验
─────────────────────────────
1011001   10110010   10110011
（4个1）  （偶数个1） （奇数个1）

1000000   10000001   10000000
（1个1）  （偶数个1） （奇数个1）
</code>

====== 3.5.2 海明码 ======

**海明码**（Hamming Code）是一种可以纠正一位错误的编码。

**原理**：在数据位中插入多个校验位，每个校验位负责校验特定的位组合。

**校验位位置**：位于 $2^i$ 的位置（1, 2, 4, 8, 16...）

<code>
海明码示例（4位数据，3位校验位）：

位置：  1    2    3    4    5    6    7
       P1   P2   D1   P3   D2   D3   D4
        ↑    ↑        ↑
      校验位         校验位

校验关系：
P1 = D1 ⊕ D2 ⊕ D4（位置3,5,7）
P2 = D1 ⊕ D3 ⊕ D4（位置3,6,7）
P3 = D2 ⊕ D3 ⊕ D4（位置5,6,7）
</code>

====== 3.5.3 循环冗余校验（CRC）======

**CRC**是一种基于多项式除法的校验方法，广泛用于数据通信和存储。

**原理**：将数据视为一个多项式，除以生成多项式，余数作为校验码附加在数据后。

**特点**：
  - 检测能力强
  - 实现简单（可用移位寄存器实现）
  - 不能纠错

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===== 3.6 练习题 =====

==== 一、选择题 ====

1. 将十进制数25转换为二进制，结果是（  ）

A. 10111    B. 11001    C. 10011    D. 11101

2. 8位补码表示的范围是（  ）

A. -127 ~ +127    B. -128 ~ +127

C. -127 ~ +128    D. -128 ~ +128

3. 下列编码中，0的表示唯一的是（  ）

A. 原码    B. 反码    C. 补码    D. 移码

4. IEEE 754单精度浮点数的阶码偏移量是（  ）

A. 127    B. 128    C. 255    D. 256

5. ASCII码使用（  ）位表示一个字符

A. 4    B. 7    C. 8    D. 16

==== 二、填空题 ====

1. 二进制数101101.11转换为十进制是_______。

2. 十进制数-15的8位补码是_______。

3. 十六进制数A3.5转换为二进制是_______。

4. 浮点数由_______、_______和_______三部分组成。

5. 奇偶校验可以检测_______位错误，海明码可以纠正_______位错误。

==== 三、计算题 ====

1. 将十进制数125.625转换为二进制、八进制和十六进制。

2. 已知X = +1011，Y = -0101，用8位补码计算X + Y和X - Y。

3. 将-28.5表示为IEEE 754单精度浮点数（用十六进制表示）。

4. 设生成多项式G(x) = x³ + x + 1，数据为1011，计算CRC校验码。

==== 四、简答题 ====

1. 简述原码、反码、补码的区别和各自的特点。

2. 为什么要对浮点数进行规格化？IEEE 754标准是如何实现规格化的？

3. 简述海明码的基本原理。

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**参考答案**：

一、选择题：1.B  2.B  3.C  4.A  5.B

二、填空题：
1. 45.75

2. 11110001

3. 10100011.0101

4. 符号位、阶码、尾数

5. 奇数、1
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