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====== 原理解析：利用叉积 Z 分量判断凸凹性 ======

在计算几何中，判断一个多边形的顶点是**凸（Convex）**还是**凹（Concave）**，最常用的方法是利用向量的**叉积（Cross Product）**。

这段代码的核心逻辑如下：
<code csharp>
double crossZ = Vector3d.CrossProduct(ePrev, eNext).Z;
bool isConvex = crossZ > 0;
</code>

===== 1. 向量叉积的几何意义 =====

在三维空间中，两个向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 的叉积结果是一个新的向量 $\vec{C}$：
$$ \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} $$

这个新向量 $\vec{C}$ 有两个重要特性：
  * **方向**：垂直于 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 所在的平面。
  * **模长**：等于 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 构成的平行四边形的面积。

对于二维平面（XY平面）上的向量，它们的 Z 坐标为 0。
设 $\vec{A} = (x_1, y_1, 0)$，$\vec{B} = (x_2, y_2, 0)$。
它们的叉积结果 $\vec{C}$ 将只有 Z 分量：

$$ \vec{C} = (0, 0, x_1 y_2 - x_2 y_1) $$

我们关注的就是这个 **Z 分量** $(x_1 y_2 - x_2 y_1)$ 的正负号。

===== 2. 右手定则 (Right-Hand Rule) =====

判断 Z 分量正负的直观方法是使用**右手定则**：

  - 伸出右手，四指指向第一个向量 $\vec{A}$ (即代码中的 `ePrev`) 的方向。
  - 将四指弯曲向第二个向量 $\vec{B}$ (即代码中的 `eNext`) 的方向。
  - **大拇指的指向**就是叉积结果的方向（Z轴方向）。

^ Z 分量符号 ^ 大拇指指向 ^ 旋转方向 (从 A 到 B) ^ 几何含义 (左/右转) ^
| **正 (+)** | 指向屏幕外 (Z+) | **逆时针 (CCW)** | **向左转 (Left Turn)** |
| **负 (-)** | 指向屏幕内 (Z-) | **顺时针 (CW)** | **向右转 (Right Turn)** |
| **零 (0)** | 无 | 共线 | 直线，无转弯 |

===== 3. 结合代码的具体分析 =====

在你的代码中：
  * **ePrev**：是进入当前顶点的向量（Previous Point -> Current Point）。
  * **eNext**：是离开当前顶点的向量（Current Point -> Next Point）。

想象你沿着多边形的边界行走：
  - 你先沿着 `ePrev` 走。
  - 到了当前点，你需要转向 `eNext` 的方向继续走。

**判定逻辑：**
如果 `crossZ > 0`，根据右手定则，这意味着从 `ePrev` 到 `eNext` 是**逆时针旋转**。
在二维平面行进中，逆时针旋转等同于**向左转**。

===== 4. 为什么 "向左转" 代表 "凸角"？ =====

这取决于多边形的**点的排列顺序（Winding Order）**。

通常在 GIS 和图形学算法中，定义一个**实心**多边形的标准是：
  * **逆时针顺序 (Counter-Clockwise, CCW)** 排列顶点。
  * 这样定义后，多边形的**内部**始终位于边界行进方向的**左侧**。

在此前提下：
  - **凸角 (Convex)**：行进时向**左**转（角度 < 180°）。此时 `CrossZ > 0`。
  - **凹角 (Concave)**：行进时向**右**转（角度 > 180°，向内凹陷）。此时 `CrossZ < 0`。

{{ :convex_concave_diagram.png?400 |示意图：CCW多边形中的左转与右转}}

> **注意**：如果你的多边形是**顺时针 (CW)** 排列的（例如某些图形库如 GDI+ 的默认行为），那么逻辑会完全反过来：`CrossZ < 0` 才是凸角。
>
> 代码中的 `bool isConvex = crossZ > 0;` 隐含假设了输入数据 `input` 是**逆时针**排列的。

===== 5. 总结 =====

| 代码 | 数学含义 | 物理动作 | 形状特征 (CCW多边形) |
| **crossZ > 0** | 逆时针旋转 | 向左拐弯 | **凸 (Convex)** |
| **crossZ < 0** | 顺时针旋转 | 向右拐弯 | **凹 (Concave)** |

这段代码利用叉积的 Z 分量，快速判断了在当前顶点处，路径是向左拐还是向右拐，从而识别出需要处理的“凸”尖角。
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