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====== 第七章 商空间与积空间 ======

===== 7.1 引言 =====

在泛函分析中，我们经常需要从已有的空间构造新的空间。商空间和积空间是两种基本的构造方法。商空间通过"粘合"某些元素来简化结构，而积空间则将多个空间"叠加"在一起。这两种构造在泛函分析的理论和应用中都非常重要。

本章将介绍这两种构造的代数结构和范数结构，以及相关的投影定理。

===== 7.2 商空间 =====

==== 7.2.1 代数商空间 =====

**定义 7.1**（陪集与商空间）设$X$是线性空间，$M$是$X$的线性子空间。对$x \in X$，定义**陪集**（或**等价类**）：

$$[x] = x + M = \{x + m : m \in M\}$$

商集$X/M = \{[x] : x \in X\}$上定义运算：

  - 加法：$[x] + [y] = [x + y]$
  - 数乘：$\alpha[x] = [\alpha x]$

则$X/M$成为线性空间，称为**商空间**。

**注记**：
  - 零元是$[0] = M$
  - 运算良定性：若$[x_1] = [x_2]$，$[y_1] = [y_2]$，则$[x_1 + y_1] = [x_2 + y_2]$

**例 7.1** 设$X = \mathbb{R}^2$，$M = \{(x, 0) : x \in \mathbb{R}\}$（$x$轴）。则：

$$X/M = \{[(0, y)] : y \in \mathbb{R}\} \cong \mathbb{R}$$

每个陪集是平行于$x$轴的直线。

**定理 7.1** 若$\dim X = n$，$\dim M = k$，则$\dim(X/M) = n - k$。

==== 7.2.2 商范数 =====

**定义 7.2**（商范数）设$(X, \|\cdot\|)$是赋范空间，$M$是闭子空间。定义$X/M$上的**商范数**：

$$\|[x]\|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x - m\| = d(x, M)$$

即到子空间$M$的距离。

**定理 7.2** $\|\cdot\|_{X/M}$是$X/M$上的范数。

**证明**：

**(N1)** $\|[x]\| \geq 0$。若$\|[x]\| = 0$，则存在$\{m_n\}$$\subseteq M$使得$\|x - m_n\| \to 0$。由于$M$闭，$x \in M$，故$[x] = [0]$。

**(N2)** 对$\alpha \neq 0$：

$$\|[\alpha x]\| = \inf_{m \in M} \|\alpha x - m\| = \inf_{m \in M} \|\alpha x - \alpha(\frac{m}{\alpha})\| = |\alpha| \inf_{m' \in M} \|x - m'\| = |\alpha| \|[x]\|$$

**(N3)** 

$$\|[x] + [y]\| = \inf_{m \in M} \|x + y - m\| \leq \inf_{m_1, m_2 \in M} \|x + y - (m_1 + m_2)\|$$

$$\leq \inf_{m_1 \in M} \|x - m_1\| + \inf_{m_2 \in M} \|y - m_2\| = \|[x]\| + \|[y]\|$$

$\square$

**定理 7.3** 若$X$是Banach空间，$M$是闭子空间，则$X/M$是Banach空间。

**证明**：设$\{[x_n]\}$是$X/M$中的Cauchy列。取子列使得$\|[x_{n_{k+1}}] - [x_{n_k}]\| < 2^{-k}$。

归纳选取$y_k \in [x_{n_{k+1}} - x_{n_k}]$使得$\|y_k\| < 2^{-k}$。则$\sum_{k=1}^\infty \|y_k\| < \infty$。

由于$X$完备，$\sum_{k=1}^\infty y_k$收敛。设$x_{n_1} + \sum_{k=1}^\infty y_k = x$，则$[x_{n_k}] \to [x]$。$\square$

==== 7.2.3 商映射 =====

**定义 7.3**（商映射/典范映射）定义**商映射**$\pi: X \to X/M$为：

$$\pi(x) = [x]$$

**定理 7.4** 商映射$\pi$是线性满射，且：

**(1)** $\|\pi(x)\|_{X/M} \leq \|x\|$（$\pi$是压缩的，$\|\pi\| \leq 1$）；

**(2)** $\pi$将$X$的开单位球映为$X/M$的开单位球；

**(3)** $\|\pi\| = 1$（当$M \neq X$时）。

**证明**：

**(1)** $\|\pi(x)\| = \inf_{m \in M} \|x - m\| \leq \|x - 0\| = \|x\|$

**(2)** 设$\|[x]\|_{X/M} < 1$，则存在$m \in M$使得$\|x - m\| < 1$。故$[x] = \pi(x - m)$且$x - m \in B_X(0, 1)$。

反之，若$y \in B_X(0, 1)$，则$\|\pi(y)\| \leq \|y\| < 1$。$\square$

===== 7.3 积空间 =====

==== 7.3.1 代数积空间 =====

**定义 7.4**（积空间）设$X_1, \ldots, X_n$是线性空间。定义**积空间**（或**直积**）：

$$\prod_{i=1}^n X_i = X_1 \times \cdots \times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) : x_i \in X_i\}$$

运算按分量定义：
  - 加法：$(x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1+y_1, \ldots, x_n+y_n)$
  - 数乘：$\alpha(x_1, \ldots, x_n) = (\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n)$

==== 7.3.2 积范数 =====

**定义 7.5**（积范数）设$(X_i, \|\cdot\|_i)$是赋范空间。在$X = \prod_{i=1}^n X_i$上可定义多种范数，常用的有：

**(1)** **$p$-范数**（$1 \leq p < \infty$）：

$$\|(x_1, \ldots, x_n)\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \|x_i\|_i^p\right)^{1/p}$$

**(2)** **最大范数**：

$$\|(x_1, \ldots, x_n)\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} \|x_i\|_i$$

**定理 7.5** 上述定义都是$X$上的范数，且当$1 \leq p \leq \infty$时互相等价。

**定理 7.6** 若每个$X_i$是Banach空间，则$\prod_{i=1}^n X_i$（赋予任一$p$-范数）是Banach空间。

===== 7.4 投影算子 =====

**定义 7.6**（投影算子）设$X = M \oplus N$（代数直和，即每个$x \in X$唯一表示为$x = m + n$，$m \in M$，$n \in N$）。定义**投影算子**$P: X \to M$：

$$P(m + n) = m$$

**定理 7.7** 投影算子$P$是线性的、幂等的（$P^2 = P$），且：

**(1)** $R(P) = M$（值域）

**(2)** $N(P) = N$（零空间）

**定理 7.8** 设$M$是Banach空间$X$的闭子空间。则存在闭子空间$N$使得$X = M \oplus N$（拓扑直和）当且仅当投影$P: X \to M$是有界的。

**定义 7.7**（可补子空间）闭子空间$M$称为**可补的**，如果存在闭子空间$N$使得$X = M \oplus N$。

**注记**：
  - Hilbert空间中每个闭子空间都可补（正交补）
  - 一般Banach空间中，存在不可补的闭子空间（Phillips, 1940）

===== 7.5 投影定理初步 =====

**定理 7.9**（距离可达性）设$X$是赋范空间，$M$是有限维子空间。则对任意$x \in X$，存在$m_0 \in M$使得：

$$\|x - m_0\| = \inf_{m \in M} \|x - m\| = d(x, M)$$

**证明**：设$d = d(x, M)$。取$\{m_n\}$$\subseteq M$使得$\|x - m_n\| \to d$。则$\{m_n\}$有界，故在有限维空间$M$中有收敛子列$m_{n_k} \to m_0$。由连续性，$\|x - m_0\| = d$。$\square$

**注记**：
  - 当$M$无限维时，最近点不一定存在
  - 即使存在，也不一定唯一（除非空间严格凸）

===== 7.6 习题 =====

**习题 7.1** 设$X = l^\infty$，$M = c_0$（收敛到0的序列空间）。证明$M$是闭子空间，并描述$X/M$。

**习题 7.2** 设$X = C[0,1]$，$M = \{f \in X : f(0) = 0\}$。证明$X/M \cong \mathbb{R}$（等距同构）。

**习题 7.3** 证明：商映射$\pi: X \to X/M$是开映射（将开集映为开集）。

**习题 7.4** 设$X = X_1 \times X_2$，证明：$X$可分当且仅当$X_1$和$X_2$都可分。

**习题 7.5** 证明：赋范空间$X$的每个有限维子空间都是可补的。

**习题 7.6** 设$P$是赋范空间$X$上的投影算子。证明$\|P\| \geq 1$（当$P \neq 0$）。

**习题 7.7** 设$M$是Hilbert空间$H$的闭子空间，$P$是正交投影。证明$\|P\| = 1$。

**习题 7.8** 证明：$l^p(1 \leq p < \infty)$等距同构于$l^p \times l^p$。

**习题 7.9** 设$M$是Banach空间$X$的闭子空间。证明：$X$可分当且仅当$M$和$X/M$都可分。

**习题 7.10** 设$X = M \oplus N$，$P$是到$M$沿$N$的投影。证明$\|P\| = \sup_{m+n\neq 0} \frac{\|m\|}{\|m+n\|}$。

===== 7.7 补充阅读 ======

  * 商空间的泛函表示：$(X/M)^* \cong M^\perp$
  * 积空间的对偶：$(X \times Y)^* \cong X^* \times Y^*$
  * 不可补子空间的例子

====== 本章小结 ======

本章介绍了赋范空间的两类重要构造：

  - 商空间：通过闭子空间"粘合"元素，商范数是到子空间的距离
  - 积空间：将多个空间组合，有多种等价的积范数
  - 投影算子将空间分解为直和，在Hilbert空间中有正交投影
  - 这些构造在建立抽象理论和具体计算中都有重要应用
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