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====== 第十二章 内积空间上的算子 ======

===== 12.1 引言 =====

Hilbert空间上的线性算子具有丰富的结构。与一般的Banach空间不同，Hilbert空间上的伴随算子概念使得我们可以定义自伴算子、酉算子、正规算子等重要类型。这些算子在量子力学、谱理论和微分方程中有着核心应用。

本章将介绍这些特殊算子的定义、性质和相互关系。

===== 12.2 伴随算子 =====

==== 12.2.1 定义 =====

**定理 12.1**（Riesz表示定理回顾）设$H$是Hilbert空间，$f \in H^*$（连续线性泛函）。则存在唯一的$y \in H$使得：

$$f(x) = \langle x, y \rangle, \quad \forall x \in H$$

且$\|f\| = \|y\|$。

==== 12.2.2 伴随算子的定义 =====

**定义 12.1**（伴随算子）设$H, K$是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H, K)$。定义$T$的**伴随算子**$T^*: K \to H$满足：

$$\langle Tx, y \rangle_K = \langle x, T^*y \rangle_H, \quad \forall x \in H, y \in K$$

**存在性与唯一性**：对固定$y \in K$，$x \mapsto \langle Tx, y \rangle$是$H$上的有界线性泛函。由Riesz表示定理，存在唯一$T^*y \in H$使得上式成立。

**定理 12.2**（伴随算子的基本性质）

**(1)** $T^* \in \mathcal{B}(K, H)$且$\|T^*\| = \|T\|$；

**(2)** $(\alpha S + \beta T)^* = \bar{\alpha} S^* + \bar{\beta} T^*$；

**(3)** $(ST)^* = T^*S^*$；

**(4)** $(T^*)^* = T$；

**(5)** 若$T$可逆，则$(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*$。

**证明**：

**(1)** $\|T^*y\|^2 = \langle T^*y, T^*y \rangle = \langle TT^*y, y \rangle \leq \|TT^*y\|\|y\| \leq \|T\|\|T^*y\|\|y\|$

故$\|T^*y\| \leq \|T\|\|y\|$，$\|T^*\| \leq \|T\|$。由$(T^*)^* = T$，$\|T\| = \|(T^*)^*\| \leq \|T^*\|$。$\square$

**例 12.1**（矩阵的伴随）在$\mathbb{C}^n$上，若$T$对应矩阵$A$，则$T^*$对应$A^* = \bar{A}^T$（共轭转置）。

**例 12.2**（积分算子）设$(Tf)(x) = \int_a^b K(x,y)f(y)dy$，则：

$$(T^*g)(x) = \int_a^b \overline{K(y,x)}g(y)dy$$

===== 12.3 自伴算子 =====

**定义 12.2**（自伴算子）$T \in \mathcal{B}(H)$称为**自伴**（或**Hermite**）的，如果$T = T^*$，即：

$$\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle, \quad \forall x, y \in H$$

**定理 12.3**（自伴算子的刻画）$T$自伴当且仅当$\langle Tx, x \rangle \in \mathbb{R}$对所有$x \in H$。

**定理 12.4**（自伴算子的范数）设$T$自伴。则：

$$\|T\| = \sup_{\|x\|=1}|\langle Tx, x \rangle|$$

**证明**：令$M = \sup_{\|x\|=1}|\langle Tx, x \rangle|$。显然$M \leq \|T\|$。

对$\|x\| = \|y\| = 1$：

$$\langle T(x+y), x+y \rangle - \langle T(x-y), x-y \rangle = 4\text{Re}\langle Tx, y \rangle$$

由平行四边形公式：

$$|\text{Re}\langle Tx, y \rangle| \leq \frac{M}{4}(\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2) = \frac{M}{2}(\|x\|^2 + \|y\|^2) = M$$

适当选取相位，$|\langle Tx, y \rangle| \leq M$。取上确界得$\|T\| \leq M$。$\square$

**例 12.3** 在$L^2[0,1]$上，$(Tf)(x) = xf(x)$是自伴算子。

===== 12.4 酉算子 =====

**定义 12.3**（酉算子）$U \in \mathcal{B}(H, K)$称为**酉算子**，如果：

**(1)** $U$是满射；

**(2)** $\langle Ux, Uy \rangle_K = \langle x, y \rangle_H$对所有$x, y \in H$。

等价地，$U^*U = I_H$且$UU^* = I_K$。

**定理 12.5**（酉算子的性质）

**(1)** 酉算子是等距同构；

**(2)** $\|U\| = 1$（当$H \neq \{0\}$）；

**(3)** $U^{-1} = U^*$；

**(4)** 酉算子的复合是酉算子。

**例 12.4**（Fourier变换）$L^2(\mathbb{R}^n)$上的Fourier变换（适当规范化）是酉算子。

**例 12.5**（移位算子）$l^2(\mathbb{Z})$上的双边移位算子是酉算子：

$$(Ux)_n = x_{n-1}$$

===== 12.5 正规算子 =====

**定义 12.4**（正规算子）$T \in \mathcal{B}(H)$称为**正规算子**，如果$T^*T = TT^*$。

**定理 12.6**（正规算子的刻画）以下条件等价：

**(1)** $T$正规；

**(2)** $\|Tx\| = \|T^*x\|$对所有$x$；

**(3)** $T = A + iB$，其中$A, B$自伴且$AB = BA$。

**证明**：$\|Tx\|^2 = \langle Tx, Tx \rangle = \langle T^*Tx, x \rangle$，$\|T^*x\|^2 = \langle TT^*x, x \rangle$。

$T^*T = TT^* \Leftrightarrow \langle T^*Tx, x \rangle = \langle TT^*x, x \rangle$对所有$x$$\Leftrightarrow$$\|Tx\| = \|T^*x\|$。$\square$

**注记**：
  - 自伴算子和酉算子都是正规算子
  - 正规算子有完整的谱分解理论（见第十八章）

===== 12.6 投影算子再讨论 =====

**定理 12.7** $P \in \mathcal{B}(H)$是正交投影当且仅当$P$自伴且幂等（$P^2 = P$）。

**证明**：若$P$是正交投影，$R(P) = M$，$N(P) = M^\perp$。则：

$$\langle Px, y \rangle = \langle Px, Py + (I-P)y \rangle = \langle Px, Py \rangle = \langle Px + (I-P)x, Py \rangle = \langle x, Py \rangle$$

故$P^* = P$。$\square$

===== 12.7 习题 =====

**习题 12.1** 证明：$\|T^*T\| = \|T\|^2$对所有$T \in \mathcal{B}(H)$。

**习题 12.2** 设$T$自伴。证明$\sigma(T) \subseteq \mathbb{R}$。

**习题 12.3** 证明：$U$酉当且仅当$U$是等距满射。

**习题 12.4** 设$\{P_n\}$是两两正交的正交投影（$P_nP_m = 0$，$n \neq m$）。证明$\sum_{n=1}^\infty P_n$（强收敛）是正交投影。

**习题 12.5** 设$T$正规。证明$\|T^2\| = \|T\|^2$。

**习题 12.6** 证明：自伴算子$T$是正的（$\langle Tx, x \rangle \geq 0$）当且仅当$\sigma(T) \subseteq [0, \infty)$。

**习题 12.7** 设$U$是酉算子。证明$\sigma(U) \subseteq \{z : |z| = 1\}$。

**习题 12.8** 证明极分解：任意$T \in \mathcal{B}(H)$可写为$T = U|T|$，其中$|T| = (T^*T)^{1/2}$，$U$是部分等距。

**习题 12.9** 设$T$自伴紧算子。证明$T$有特征向量构成的规范正交基。

**习题 12.10** 证明：Hilbert空间$H$与$K$酉等价当且仅当$\dim H = \dim K$。

===== 12.8 补充阅读 =====

  * 无界自伴算子理论
  * von Neumann代数
  * 算子单调函数

====== 本章小结 ======

本章介绍了Hilbert空间上几类重要的算子：

  - 伴随算子：由内积结构自然导出
  - 自伴算子：$T = T^*$，对应"实数"的算子类比
  - 酉算子：保持内积的同构，对应"单位圆"的算子类比
  - 正规算子：$T^*T = TT^*$，具有谱分解定理
  - 正交投影是自伴幂等算子
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