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====== 第九章 内积空间 ======

===== 9.1 引言 =====

内积空间是欧几里得几何在无限维空间的自然推广。与一般的赋范空间不同，内积空间具有"角度"的概念，可以定义正交性，这使得其结构更加丰富和类似于有限维欧几里得空间。

本章介绍内积空间的基本理论，包括内积公理、由内积诱导的范数、以及内积空间特有的极化恒等式和平行四边形公式。

===== 9.2 内积公理 =====

==== 9.2.1 内积的定义 =====

**定义 9.1**（内积）设$X$是数域$\mathbb{K}$（$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$）上的线性空间。映射$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{K}$称为**内积**，如果对任意$x, y, z \in X$和$\alpha, \beta \in \mathbb{K}$：

**(IP1)** **共轭对称性**：$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$；

**(IP2)** **对第一变元的线性**：$\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$；

**(IP3)** **正定性**：$\langle x, x \rangle \geq 0$，且$\langle x, x \rangle = 0$当且仅当$x = 0$。

$(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)$称为**内积空间**。

**注记**：
  - 当$\mathbb{K} = \mathbb{R}$时，(IP1)变为对称性：$\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
  - 由(IP1)和(IP2)，内积对第二变元是**共轭线性**的：

$$\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \bar{\alpha}\langle x, y \rangle + \bar{\beta}\langle x, z \rangle$$

==== 9.2.2 典型例子 =====

**例 9.1**（欧几里得空间）在$\mathbb{R}^n$上：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$$

在$\mathbb{C}^n$上：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i \bar{y}_i$$

**例 9.2**（$l^2$空间）

$$\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n \bar{y}_n$$

由Cauchy-Schwarz不等式，级数绝对收敛。

**例 9.3**（$L^2$空间）

$$\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x)\overline{g(x)}d\mu(x)$$

**例 9.4**（连续函数空间）在$C[a,b]$上：

$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)\overline{g(t)}dt$$

这不是Hilbert空间（不完备）。

===== 9.3 Cauchy-Schwarz不等式 =====

**定理 9.1**（Cauchy-Schwarz不等式）设$(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是内积空间。则对任意$x, y \in X$：

$$|\langle x, y \rangle|^2 \leq \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle$$

等号成立当且仅当$x$与$y$线性相关。

**证明**：不妨设$y \neq 0$。对任意$\lambda \in \mathbb{K}$：

$$0 \leq \langle x - \lambda y, x - \lambda y \rangle = \langle x, x \rangle - \lambda \langle y, x \rangle - \bar{\lambda}\langle x, y \rangle + |\lambda|^2\langle y, y \rangle$$

取$\lambda = \frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle}$：

$$0 \leq \langle x, x \rangle - \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\langle y, y \rangle}$$

即得结论。等号成立当且仅当$x = \lambda y$。$\square$

===== 9.4 由内积诱导的范数 =====

**定义 9.2** 在内积空间上定义：

$$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$

**定理 9.2** 上述定义的$\|\cdot\|$是范数。

**证明**：

**(N1)** $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \geq 0$，且$\|x\| = 0 \Leftrightarrow \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$

**(N2)** $\|\alpha x\| = \sqrt{\langle \alpha x, \alpha x \rangle} = \sqrt{|\alpha|^2\langle x, x \rangle} = |\alpha|\|x\|$

**(N3)** 由Cauchy-Schwarz：

$$\|x + y\|^2 = \langle x+y, x+y \rangle = \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$$

$$\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2$$

$\square$

===== 9.5 极化恒等式 =====

极化恒等式揭示了内积与范数之间的深刻联系：内积可以由范数恢复。

**定理 9.3**（极化恒等式）

**(实情形)** 若$\mathbb{K} = \mathbb{R}$：

$$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)$$

**(复情形)** 若$\mathbb{K} = \mathbb{C}$：

$$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2)$$

**证明**（复情形）：

展开$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$

$\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$

故$\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = 4\text{Re}\langle x, y \rangle$

同理，$\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2 = 4\text{Re}\langle x, iy \rangle = 4\text{Im}\langle x, y \rangle$

组合即得结论。$\square$

**注记**：极化恒等式说明：内积空间结构完全由其范数结构决定。

===== 9.6 平行四边形公式 =====

**定理 9.4**（平行四边形公式）在内积空间中，对任意$x, y$：

$$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$$

**证明**：直接展开：

$$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$$

$$\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$$

相加即得。$\square$

**几何意义**：平行四边形对角线平方和等于四边平方和。

**定理 9.5**（Jordan-von Neumann定理）赋范空间$X$是内积空间（范数可由某内积诱导）当且仅当范数满足平行四边形公式。

**证明概要**：必要性已证。充分性：用极化恒等式定义内积，验证其满足内积公理。关键是用平行四边形公式验证可加性。

**例 9.5** $l^p$（$p \neq 2$）不是内积空间。

取$x = (1, 0, 0, \ldots)$，$y = (0, 1, 0, \ldots)$：

$$\|x+y\|_p^2 + \|x-y\|_p^2 = 2^{2/p} + 2^{2/p} = 2^{1+2/p}$$

$$2(\|x\|_p^2 + \|y\|_p^2) = 2(1 + 1) = 4$$

当$p \neq 2$时，$2^{1+2/p} \neq 4$。

===== 9.7 习题 =====

**习题 9.1** 验证$\mathbb{C}^n$上的标准内积满足内积公理。

**习题 9.2** 在内积空间中，证明：

$$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \Leftrightarrow \text{Re}\langle x, y \rangle = 0$$

**习题 9.3** 证明：若$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$对所有$x, y$成立，则内积空间是实的。

**习题 9.4** 设$\{x_n\}$是内积空间中的序列，$\|x_n\| \to \|x\|$且$\langle x_n, x \rangle \to \|x\|^2$。证明$x_n \to x$。

**习题 9.5** 证明：内积$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{K}$是连续映射。

**习题 9.6** 设$T: X \to Y$是内积空间之间的线性算子且保持内积（$\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle$）。证明$\|Tx\| = \|x\|$。

**习题 9.7** 证明Appolonius恒等式：

$$\|z-x\|^2 + \|z-y\|^2 = \frac{1}{2}\|x-y\|^2 + 2\left\|z - \frac{x+y}{2}\right\|^2$$

**习题 9.8** 设$X$是实内积空间，$x, y \neq 0$。证明：$\|x+y\| = \|x\| + \|y\|$当且仅当$y = tx$（$t > 0$）。

**习题 9.9** 验证$C[0,1]$在上确界范数下不满足平行四边形公式。

**习题 9.10** 设$\{e_1, \ldots, e_n\}$是内积空间中的规范正交集。证明对任意$x$：

$$\sum_{i=1}^n |\langle x, e_i \rangle|^2 \leq \|x\|^2$$

===== 9.8 补充阅读 =====

  * 严格凸空间与一致凸空间
  * 内积空间的特征刻画
  * 数值半径与数值值域

====== 本章小结 ======

本章介绍了内积空间的基础理论：

  - 内积公理定义了"角度"的概念，使空间具有欧几里得结构
  - Cauchy-Schwarz不等式是内积空间的基本不等式
  - 内积自然诱导范数，使内积空间成为赋范空间
  - 极化恒等式表明内积可由范数恢复
  - 平行四边形公式是内积空间的特征性质
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