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====== 弹性力学基础教程：从三维到二维 ======

本教程旨在梳理弹性力学的核心理论框架，对比三维空间与二维平面问题（平面应力与平面应变）的数学描述。

===== 1. 基本变量 (Basic Variables) =====

在弹性力学中，我们需要求解物体内部的应力、应变和位移。

==== 1.1 三维情形 (3D) ====
在三维直角坐标系 $(x, y, z)$ 中，共有 **15个** 未知函数：

  * **位移分量 (3个)**: $u, v, w$ 分别对应 $x, y, z$ 方向的位移。
  * **应变分量 (6个)**: 
    * 正应变: $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$
    * 切应变: $\gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}$
  * **应力分量 (6个)**: 
    * 正应力: $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$
    * 切应力: $\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}$ (注意对称性 $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ 等)

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==== 1.2 二维情形 (2D) ====
二维问题通常简化为 $x-y$ 平面内的问题，变量减少至 **8个**：

  * **位移分量 (2个)**: $u, v$
  * **应变分量 (3个)**: $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \gamma_{xy}$
  * **应力分量 (3个)**: $\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$

===== 2. 平衡方程 (Equilibrium Equations) =====

描述微元体在受力状态下的静态平衡关系。

==== 2.1 三维平衡方程 ====
$$
\begin{cases} 
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + f_x = 0 \\
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + f_y = 0 \\
\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + f_z = 0 
\end{cases}
$$
其中 $f_x, f_y, f_z$ 为单位体积的体力分量。

==== 2.2 二维平衡方程 ====
忽略 $z$ 方向的变化和分量：
$$
\begin{cases} 
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + f_x = 0 \\
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + f_y = 0 
\end{cases}
$$

===== 3. 几何方程 (Geometric Equations) =====

描述应变与位移之间的微分关系（柯西方程）。

==== 3.1 三维几何方程 ====
$$
\begin{cases} 
\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z} \\
\gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \\
\gamma_{yz} = \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \\
\gamma_{zx} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}
\end{cases}
$$

==== 3.2 二维几何方程 ====
$$
\begin{cases} 
\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} \\
\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} \\
\gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}
\end{cases}
$$

===== 4. 物理方程 (Physical Equations / Constitutive Laws) =====

描述应力与应变之间的关系（广义胡克定律）。假设材料为各向同性线弹性体。
$E$ 为弹性模量，$\nu$ (nu) 为泊松比，$G$ 为剪切模量 ($G = \frac{E}{2(1+\nu)}$)。

==== 4.1 三维物理方程 ====
**应变表示应力形式：**
$$
\begin{cases} 
\varepsilon_x = \frac{1}{E}[\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)] \\
\varepsilon_y = \frac{1}{E}[\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)] \\
\varepsilon_z = \frac{1}{E}[\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)] \\
\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}, \quad \gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G}, \quad \gamma_{zx} = \frac{\tau_{zx}}{G}
\end{cases}
$$

==== 4.2 二维物理方程 ====
二维问题分为两种情况，物理方程有所不同。

=== 4.2.1 平面应力 (Plane Stress) ===
适用于薄板问题（$\sigma_z = 0, \tau_{xz}=0, \tau_{yz}=0$）。
$$
\begin{cases} 
\varepsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \nu \sigma_y) \\
\varepsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \nu \sigma_x) \\
\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} = \frac{2(1+\nu)}{E}\tau_{xy}
\end{cases}
$$
//注：此时 $\varepsilon_z \neq 0$，$\varepsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y)$//

=== 4.2.2 平面应变 (Plane Strain) ===
适用于长柱体问题（$\varepsilon_z = 0, \gamma_{xz}=0, \gamma_{yz}=0$）。
$$
\begin{cases} 
\varepsilon_x = \frac{1-\nu^2}{E}(\sigma_x - \frac{\nu}{1-\nu}\sigma_y) \\
\varepsilon_y = \frac{1-\nu^2}{E}(\sigma_y - \frac{\nu}{1-\nu}\sigma_x) \\
\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}
\end{cases}
$$
//注：此时 $\sigma_z \neq 0$，$\sigma_z = \nu(\sigma_x + \sigma_y)$//

===== 5. 外力边界条件 (Boundary Conditions) =====

描述物体边界表面 $S$ 上已知的外力 $\bar{T}$ 与内部应力的关系。
$l, m, n$ 为边界外法线的方向余弦。

==== 5.1 三维边界条件 ====
$$
\begin{cases} 
l\sigma_x + m\tau_{yx} + n\tau_{zx} = \bar{T}_x \\
l\tau_{xy} + m\sigma_y + n\tau_{zy} = \bar{T}_y \\
l\tau_{xz} + m\tau_{yz} + n\sigma_z = \bar{T}_z 
\end{cases}
$$

==== 5.2 二维边界条件 ====
在二维平面曲线边界上，$n=0$ (这里的 $n$ 指 $z$ 方向余弦)，$l = \cos(N, x), m = \cos(N, y)$。
$$
\begin{cases} 
l\sigma_x + m\tau_{yx} = \bar{T}_x \\
l\tau_{xy} + m\sigma_y = \bar{T}_y 
\end{cases}
$$

===== 总结对比表 =====

^ 概念 ^ 三维 (3D) ^ 二维 (2D) ^
| **未知量数量** | 15个 (3位移, 6应变, 6应力) | 8个 (2位移, 3应变, 3应力) |
| **平衡方程** | 3个偏微分方程 | 2个偏微分方程 |
| **几何方程** | 6个方程 | 3个方程 |
| **物理方程** | 6个方程 | 3个方程 (需区分平面应力/应变) |
| **主要区别** | 包含 $z$ 方向所有分量 | 假设 $z$ 方向量为0或常数 |
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