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====== 公式依赖图 ======
<uml>
@startuml
:极限定义;
:导数定义;
:泰勒展开;
:等价无穷小;
@enduml
</uml>
====== 等价无穷小 ======

设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是 $x \to x_0$ 时的**无穷小量**（即极限为 0），若：
$$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$

则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ **等价**，记作：
$$\alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to x_0)$$




==== 关键理解 ====

  * 等价 ≠ 相等：$\sin x \sim x$ 不代表 $\sin x = x$，而是两者趋近 0 的**速度完全相同**
  * 比值极限为 1 意味着：$\alpha(x) = \beta(x) + o(\beta(x))$，即差异是"高阶小量"


===== 基本等价无穷小公式 =====

所有基本等价无穷小都可以从**麦克劳林展开**（$x=0$ 处泰勒展开）读出：

| 函数 | 麦克劳林展开 | 等价无穷小 |
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$ | $\sin x \sim x$ |
| $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...$ | $\tan x \sim x$ |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2} + ...$ | $e^x - 1 \sim x$ |
| $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ | $\ln(1+x) \sim x$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...$ | $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ |
| $(1+x)^a$ | $1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + ...$ | $(1+x)^a - 1 \sim ax$ |

**核心公式**：若 $f(0)=0$，$f'(0) \neq 0$，则 $f(x) \sim f'(0) \cdot x$

 基本公式表（x → 0）

^ 公式 ^ 来源 ^ 精度 ^
| $\sin x \sim x$ | $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$（重要极限） | $O(x^3)$ |
| $\tan x \sim x$ | $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \sim \frac{x}{1} = x$ | $O(x^3)$ |
| $\arcsin x \sim x$ | 反函数对称性 | $O(x^3)$ |
| $\arctan x \sim x$ | 同上 | $O(x^3)$ |
| $e^x - 1 \sim x$ | $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ | $O(x^2)$ |
| $\ln(1+x) \sim x$ | 令 $t=e^x-1$，则 $x=\ln(1+t)$ | $O(x^2)$ |
| $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ | $1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} \sim 2\cdot(\frac{x}{2})^2$ | $O(x^4)$ |
| $(1+x)^a - 1 \sim ax$ | 二项式展开 $(1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+...$ | $O(x^2)$ |
| $a^x - 1 \sim x\ln a$ | $a^x = e^{x\ln a} - 1 \sim x\ln a$ | $O(x^2)$ |
| $\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$ | 换底公式 | $O(x^2)$ |



===== 核心定理：等价无穷小替换原理 =====

设 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，则：
$$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$$

更一般地，在**乘除运算**中：
$$\lim \frac{\alpha \cdot \gamma}{\beta \cdot \delta} = \lim \frac{\alpha' \cdot \gamma}{\beta' \cdot \delta}$$

==== 证明思路 ====

$$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \left(\frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \frac{\beta'}{\beta}\right) = \lim \frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \lim \frac{\beta'}{\beta} = 1 \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot 1 = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$$

**关键**：利用了 $\lim \frac{\alpha}{\alpha'} = 1$ 和 $\lim \frac{\beta'}{\beta} = 1$（等价定义）。


=====  ⚠️ 加减法禁止直接替换 =====

**反例**：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

错误做法（直接替换 $\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$）：
$$\frac{x - x}{x^3} = \frac{0}{x^3} = 0 \quad \text{❌ 错误！}$$

正确做法（提取公因式后替换）：
$$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x^3} = \frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x} \sim \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2} \quad \text{✓}$$

==== 本质原因 ====

等价无穷小只保证**主部相同**（一阶相同），但相减后高阶项可能暴露：
  * $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
  * $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
  * $\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + o(x^3)$ ← 一阶抵消，三阶才是主部

**结论**：加减后阶数可能升高，直接替换会丢失高阶信息。

==== 什么时候加减可以替换？ ====

严格条件：替换后**不产生抵消**。

例如：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + \tan x}{x} = \frac{x + x}{x} = 2 \quad \text{✓}$$

因为 $\sin x + \tan x = 2x + o(x)$，主部保留。

**安全做法**：加减项先**泰勒展开到足够阶数**，再合并同类项。
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