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===== 不定积分 (Indefinite Integrals) =====

不定积分是求导的逆运算，结果是一个函数族：$\int f(x) dx = F(x) + C$。

==== 1. 基本积分公式表 ====

^ 分类 ^ 被积函数 $f(x)$ ^ 原函数 $\int f(x) dx$ ^ 备注 ^
| **幂函数** | $x^\mu$ ($\mu \neq -1$) | $\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ | |
| | $\frac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | **注意绝对值** |
| **指数** | $e^x$ | $e^x + C$ | |
| | $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | |
| **三角** | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | |
| | $\cos x$ | $\sin x + C$ | |
| | $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ | |
| | $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ | |
| | $\sec x \tan x$ | $\sec x + C$ | |
| | $\csc x \cot x$ | $-\csc x + C$ | |
| **扩展三角** | $\tan x$ | $-\ln|\cos x| + C$ | |
| | $\cot x$ | $\ln|\sin x| + C$ | |
| | $\sec x$ | $\ln|\sec x + \tan x| + C$ | |
| | $\csc x$ | $\ln|\csc x - \cot x| + C$ | |
| **反三角** | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | |
| | $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ | $\arcsin \frac{x}{a} + C$ | |
| | $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ | |
| | $\frac{1}{a^2+x^2}$ | $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$ | **系数 1/a** |
| | $\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ | $\text{arcsec } x + C$ | |

==== 2. 积分求解技巧 ====

=== 2.1 第一类换元法 (凑微分) ===
核心：利用 $g'(x)dx = d(g(x))$。
**常见模式**：
  *   $x dx = \frac{1}{2} d(x^2)$
  *   $\frac{1}{x} dx = d(\ln x)$
  *   $e^x dx = d(e^x)$
  *   $\cos x dx = d(\sin x)$
  *   $\frac{1}{1+x^2} dx = d(\arctan x)$

=== 2.2 第二类换元法 (三角代换) ===
用于消除根号 $\sqrt{\cdot}$。
^ 形式 ^ 令 $x =$ ^ 恒等式 ^
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $a \sin t$ | $1-\sin^2 t = \cos^2 t$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $a \tan t$ | $1+\tan^2 t = \sec^2 t$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $a \sec t$ | $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ |

=== 2.3 分部积分法 (Integration by Parts) ===
公式：$$ \int u dv = uv - \int v du $$
**选 $u$ 优先级 (LIATE)**：对数(L) > 反三角(I) > 幂函数(A) > 三角(T) > 指数(E)。

=== 2.4 有理函数积分 ===
对于 $\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$：
1.  若分子次数 $\ge$ 分母，先做**多项式除法**。
2.  将分母**因式分解**。
3.  **部分分式分解**（如 $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$）。

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===== 定积分与微积分基本定理 =====

定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 是一个**数值**，几何上代表曲边梯形的代数面积。

==== 1. 黎曼积分定义 ====
$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$
其中 $\lambda$ 是最大区间长度。

==== 2. 微积分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus) ====

这是连接微分与积分的桥梁。

=== 第一基本定理 (变上限积分求导) ===
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，定义 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt$，则：
$$ \Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x) $$

**证明思路**：
利用导数定义和积分中值定理：
$$ \frac{\Phi(x+\Delta x) - \Phi(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x} f(t) dt = \frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} = f(\xi) $$
当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x$，故极限为 $f(x)$。

=== 第二基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式) ===
若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意原函数，则：
$$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$
**意义**：将复杂的黎曼和极限运算转化为寻找原函数的代数运算。

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===== 数值积分 (Numerical Integration) =====

当原函数无法用初等函数表示（如 $\int e^{-x^2} dx$）或只有离散数据时使用。
设步长 $h = \frac{b-a}{n}$，节点 $x_i = a + i h$。

^ 方法 ^ 公式 ^ 几何意义 ^ 精度 ^
| **梯形法** | $I \approx \frac{h}{2} [f(a) + 2\sum f(x_i) + f(b)]$ | 用直线逼近 | $O(h^2)$ |
| **辛普森法** | $I \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4\sum_{odd} + 2\sum_{even} + f(b)]$ | 用抛物线逼近 | $O(h^4)$ |

**辛普森公式系数记忆**：
$$ 1, 4, 2, 4, 2, \dots, 4, 1 $$
（首尾为1，中间奇数位为4，偶数位为2）。
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