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===== 数列极限 (Sequence Limits) =====

数列是定义于自然数集 $\mathbb{N}$ 上的函数。

==== 1.1 定义与基本概念 ====

**定义 (收敛数列)**：
设 $\{x_n\}$ 是一数列。若存在常数 $A$，使得：
$$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}; \forall n > n_0, \text{有 } |x_n - A| < \varepsilon $$
则称 $\{x_n\}$ 为收敛数列，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ 或 $x_n \to A$。

**定义 (趋于无穷)**：
$$ \forall b > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \text{有 } x_n > b $$
则称 $x_n$ 趋向于 $\infty$，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$。同理可定义 $-\infty$。

**统一描述 (邻域法)**：
$x_n \to A$ 意味着：
$$ \forall U = N(A), \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \text{有 } x_n \in U $$
其中 $A$ 可为有限数或 $\pm \infty$。

==== 1.2 极限的基本性质 ====

设 $x_n \to A, y_n \to B$ (有限)，则：
  * **(i) 唯一性**：极限若存在则唯一。
  * **(ii) 有界性**：收敛数列必有界 ($\sup |x_n| < \infty$)。
  * **(iii) 绝对值**：$|x_n| \to |A|$。
  * **(iv) 四则运算**：$x_n \pm y_n \to A \pm B$, $x_n y_n \to AB$, $x_n/y_n \to A/B$ ($B \neq 0$)。
  * **(v) 保序性**：若 $x_n \le y_n$，则 $A \le B$。
    * **保号性**：若 $A > 0$，则 $n$ 充分大时 $x_n > 0$。
  * **(vi) 夹逼原理 (Squeeze Theorem)**：若 $x_n \le z_n \le y_n$ 且 $A=B$，则 $z_n \to A$。

==== 1.3 单调收敛原理 ====

**定理**：
若 $\{x_n\}$ 是增序列（或减序列），则：
$$ \lim_n x_n = \sup_n x_n (上确界)\quad \text{或} \quad \lim_n x_n = \inf_n x_n (下确界)$$
**推论**：单调有界数列必收敛。

==== 1.4 重要示例 ====

  * **有理函数**：$f(x) = P(x)/Q(x)$，若 $x_n \to a$，则 $f(x_n) \to f(a)$ (分母不为0)。
  * **方根极限**：$\lim_n \sqrt[n]{n} = 1$, $\lim_n \sqrt[n]{a} = 1 (a>0)$。
  * **增长速度比较**：$\lim_n \frac{n^k}{a^n} = 0 (a>1)$, $\lim_n \frac{(\log_a n)^k}{n} = 0$。即：指数增长 $\gg$ 多项式增长 $\gg$ 对数增长。

==== 1.5 数 e 的定义 ====

存在无理数 $e$，使得：
$$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{\theta}{n!n} \quad (0 < \theta < 1) $$
该数列单调递增且有上界（$<3$）。

==== 1.6 迭代序列 ====

由 $x_n = f(x_{n-1})$ 生成的数列。
**命题**：若 $f(x)$ 单调增，且 $x_n$ 有界，则 $x_n$ 收敛于方程 $f(x)=x$ 的根。


=====   上极限与下极限 (Upper and Lower Limits) =====

==== 2.1 定义与子列<编辑中> ====

**定义**：
$$ \varlimsup_n x_n = \inf_n \sup_{k \ge n} x_k, \quad \varliminf_n x_n = \sup_n \inf_{k \ge n} x_k $$

**子极限**：数列 $\{x_n\}$ 的子列 $\{x_{n_k}\}$ 的极限。
**定理**：
  * (i) $\lim x_n$ 存在 $\iff$ 任何子列有同一极限。
  * (ii) 上极限和下极限分别是 $\{x_n\}$ 的**最大**和**最小**子极限。
  * (iii) $\lim x_n$ 存在 $\iff \varlimsup x_n = \varliminf x_n$。

==== 2.2 上下极限的性质 ====

  * **不等式**：$\varlimsup (x_n + y_n) \le \varlimsup x_n + \varlimsup y_n$。
  * **乘积**：若 $x_n, y_n \ge 0$，$\varlimsup (x_n y_n) \le \varlimsup x_n \cdot \varlimsup y_n$。

==== 2.3 Stolz 定理 ====

设 $y_n$ 严格增加且 $y_n \to \infty$，则：
$$ \lim_n \frac{x_n}{y_n} = \lim_n \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} $$
只要等式右端极限存在。
*(注：这是离散形式的洛必达法则)*

**应用**：
  * 算术平均极限：若 $x_n \to A$，则 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \to A$。
  * 几何平均极限：若 $x_n \to A > 0$，则 $\sqrt[n]{x_1 \dots x_n} \to A$。

=====  基本定理 (Basic Theorems) =====

本节定理逻辑上等价，刻画了实数系的连续性（完备性）。

==== 3.1 Cauchy 收敛原理 ====

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是满足 **Cauchy 条件**：
$$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall m, n > n_0, \text{有 } |x_m - x_n| < \varepsilon $$
即 $\lim_{m,n \to \infty} |x_m - x_n| = 0$。

==== 3.2 区间套定理 ====

设 $J_n = [a_n, b_n]$ 是区间套 ($J_{n+1} \subset J_n$) 且长度趋于 0，则 $J_n$ 有唯一公共点。

==== 3.3 有限覆盖定理 (Borel) ====

设闭区间 $[a, b]$ 被一族开区间 $\Delta$ 覆盖，则可从 $\Delta$ 中取出**有限**子覆盖。

==== 3.4 聚点原理 ====

有界无限集 $A \subset \mathbb{R}$ 必有聚点。
*(聚点：任意邻域内含有集合中无限多个点)*

==== 3.5 紧性定理 (Bolzano-Weierstrass) ====

任何**有界数列**必有收敛子列。

**逻辑链条**：
连续性定理 $\Rightarrow$ 确界定理 $\Rightarrow$ Cauchy原理 $\Rightarrow$ 区间套 $\Rightarrow$ 有限覆盖 $\Rightarrow$ 聚点原理 $\Rightarrow$ 紧性定理 $\Rightarrow$ 连续性定理。

=====  $\mathbf{R}^n$ 中的极限 =====

将极限概念推广到 $n$ 维欧几里得空间。

==== 4.1 定义 ====

序列 $\{\boldsymbol{x}^k\} \subset \mathbb{R}^n$ 收敛于 $\boldsymbol{a}$，即 $|\boldsymbol{x}^k - \boldsymbol{a}| \to 0$。
**等价性**：
$$ \boldsymbol{x}^k \to \boldsymbol{a} \iff x_i^k \to a_i \quad (1 \le i \le n) $$
即 $n$ 维收敛等价于每个坐标分量收敛。

==== 4.5 - 4.9 基本定理的推广 ====

  * **Cauchy 原理**：$|\boldsymbol{x}^k - \boldsymbol{x}^l| \to 0$。
  * **闭集套定理**：闭集套 $B_k$ 若直径趋于0，则有唯一公共点。
  * **有限覆盖定理**：$\mathbb{R}^n$ 中的紧集（有界闭集）的开覆盖必有有限子覆盖。
  * **聚点原理**：$\mathbb{R}^n$ 中有界无限集必有聚点。
  * **紧性定理**：$\mathbb{R}^n$ 中有界序列必有收敛子列。
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