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====== 向量代数基础 (Vector Algebra Basics) ======

本页面总结了向量的点积、叉积及其几何性质与应用。

===== 1. 点积 (Dot Product) =====

点积（也称为数量积）的结果是一个标量（实数）。

==== 1.1 定义与计算 ====

  *   **代数定义**（坐标形式）：
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$

  *   **几何定义**：
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $$
其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

==== 1.2 性质与应用 ====

  *   **垂直判定**：
向量 $\mathbf{a}$ 跟 $\mathbf{b}$ **互相垂直**，当且仅当点积为零：
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $$

  *   **求向量夹角**：
向量 $\mathbf{a}$ 跟 $\mathbf{b}$ 所夹的角 $\theta$ 可由下列式子决定：
$$ \cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} $$

===== 2. 叉积 (Cross Product) =====

叉积（也称为向量积）的结果是一个向量。

==== 2.1 定义与计算 ====

  *   **行列式计算法**：
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$
展开后为：$(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$

==== 2.2 性质 ====

  *   **重要事实（正交性）**：
$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 产生的向量，跟 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 两个向量**都垂直**。

  *   **模长（大小）**：
$$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta $$

  *   **反交换律**：
叉积不满足交换律，交换顺序后方向相反：
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a} $$

===== 3. 几何应用：面积 =====

利用叉积的模长可以计算由向量构成的图形面积。

  *   **(三角形的) 面积**：
由向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的三角形面积为：
$$ \text{Area} = \frac{1}{2}|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| $$

===== 4. 混合积 (Scalar Triple Product) =====

三个向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 的混合积定义为 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$。

  *   **计算公式**：
$$ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $$
(注：其几何意义通常代表由这三个向量构成的平行六面体的体积)
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