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===== 函数极限 (Function Limits) =====

==== 5.1 定义 (去心邻域法) ====

设 $a$ 是定义域 $X$ 的聚点。$\lim_{x \to a} f(x) = A$ 定义为：
$$ \forall V = N(A), \exists U = N^*(a) \text{ (去心邻域)}, \forall x \in X \cap U, \text{有 } f(x) \in V $$
此定义涵盖了 $x \to x_0$, $x \to \infty$, 左右极限等所有情况。

==== 5.2 海涅定理 (Heine Theorem) ====

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 $\iff$ 对任意 $x_n \to a (x_n \neq a)$，数列 $f(x_n)$ 都有同一极限。
*(连接了函数极限与数列极限)*

==== 5.3 性质 ====

函数极限具备唯一性、局部有界性、保号性、四则运算规则、夹逼原理等，与数列极限类似。

==== 5.4 Cauchy 收敛原理 (函数) ====

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充要条件：
$$ \lim_{x, y \to a} |f(x) - f(y)| = 0 $$

==== 5.6 变量代换规则 ====

若 $f(x) \to A (x \to a, x \neq a \implies f(x) \neq A)$ 且 $\varphi(y) \to l (y \to A)$，则：
$$ \lim_{x \to a} \varphi(f(x)) = l $$

==== 5.8 两个重要极限 ====

  - 1. **幂指函数极限**：
    $$ \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e $$
  - 2. **三角函数极限**：
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

==== 5.10 二重极限与逐次极限 ====

考察 $\lim_{x \to a, y \to b} f(x, y)$ 与 $\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$ 的关系。
**定理**：若逐次极限函数 $\varphi(x) = \lim_{y \to b} f(x, y)$ 存在，且二重极限存在，则二者相等。
*(注：二重极限存在要求更高，沿任意路径趋近都相等)*

===== 无穷小与无穷大 (Infinitesimals and Infinities) =====

==== 6.1 定义 ====

  * **无穷小量**：若 $\lim u = 0$。
  * **无穷大量**：若 $\lim |u| = \infty$。

==== 6.2 比较记号 ($o, O, \sim$) ====

设在同一极限过程中：
  * **高阶无穷小 ($o$)**：$u = o(v) \iff \lim u/v = 0$。
  * **同阶无穷小 ($O^*$)**：$u = O^*(v) \iff 0 < \lim |u/v| < \infty$。
  * **有界量 ($O$)**：$u = O(v) \iff \varlimsup |u/v| < \infty$。
  * **等价无穷小 ($\sim$)**：$u \sim v \iff \lim u/v = 1$。

**运算规则**：
  * $o(o(w)) = o(w)$
  * $o(v) \cdot O(w) = o(vw)$
  * $u \sim v \iff u - v = o(v)$
  * **等价替换**：若 $u \sim v$，求极限时因子 $u$ 可替换为 $v$。

==== 6.4 常用等价无穷小 (当 $x \to 0$) ====

  * $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
  * $\sin x \sim x$
  * $\ln(1+x) \sim x$
  * $e^x - 1 \sim x$
  * $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
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