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====== 弹性力学：能量法 (Energy Methods) ======

能量法是弹性力学中一种非常强大的求解方法。与直接求解微分方程（如平衡方程、几何方程、物理方程）不同，能量法通过研究物体变形过程中储存的能量（应变能）与外力做功之间的关系，将复杂的微分方程问题转化为积分问题或代数方程组求解，特别适合处理复杂边界条件和数值计算（如有限元法）。

===== 1. 基本概念：应变能 (Strain Energy) =====

在弹性变形过程中，外力对物体做功，这部分功转化为物体内部储存的能量，称为**应变能**（Strain Energy）。

==== 1.1 一维情况 ====

考虑一个受拉伸的杆件，其应力-应变关系遵循胡克定律。
  *   **单位体积应变能 (应变能密度)** $U_0$:

$$ U_0 = \int_0^{\epsilon_x} \sigma_x \text{d}\epsilon_x = \frac{1}{2} E \epsilon_x^2 = \frac{1}{2} \sigma_x \epsilon_x $$

  *   **物理意义**: 在应力-应变 ($\sigma - \epsilon$) 曲线下方的面积。
  *   **系数 1/2 的来源**: 只有在线弹性（Linear Elastic）材料中，力与变形成正比，做功过程是一个三角形面积，因此有 1/2。如果是塑性或非线性材料，这个系数就不一定是 1/2。

  *   **微元体总功**:

$$ W = \int_0^{\epsilon_x} \sigma_x \left( \frac{\partial u}{\partial x} \text{d}x \right) \text{d}y\text{d}z = \int_0^{\epsilon_x} \sigma_x \text{d}\epsilon_x \text{d}V $$

==== 1.2 三维一般情况 (广义胡克定律) ====

对于三维受力状态，总应变能 $U$ 是应变能密度 $U_0$ 在整个体积 $V$ 上的积分：
$$ U = \iiint_V U_0 \text{d}x\text{d}y\text{d}z $$

其中，**应变能密度** $U_0$ 可以写为所有应力分量与对应应变分量乘积之和的一半：
$$ U_0 = \frac{1}{2} (\sigma_x \epsilon_x + \sigma_y \epsilon_y + \sigma_z \epsilon_z + \tau_{xy} \gamma_{xy} + \tau_{yz} \gamma_{yz} + \tau_{zx} \gamma_{zx}) $$

或者使用爱因斯坦求和约定（张量形式）：
$$ U_0 = \frac{1}{2} \sigma_{ij} \epsilon_{ij} $$

**引入广义胡克定律后**，可以分别用应力或应变表示：
  *   **用应力表示**:
    $$ U_0 = \frac{1}{2E} (\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2) - \frac{\nu}{E} (\sigma_x \sigma_y + \sigma_y \sigma_z + \sigma_z \sigma_x) + \frac{1}{2G} (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) $$
  *   **用应变表示** (引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $G$):

$$ U_0 = \frac{1}{2} [\lambda e^2 + 2G (\epsilon_x^2 + \epsilon_y^2 + \epsilon_z^2) + G (\gamma_{xy}^2 + \gamma_{yz}^2 + \gamma_{zx}^2)] $$

  *(注: $e$ 为体应变 $e = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$)*


**重要性质**: 由公式可见，对于稳定的弹性材料，$U_0$ 恒为正值（正定性）。


==== 1.3 应变能密度的导数关系 ====

应变能函数 $U_0$ 是一个势函数。
  *   对**应变**求偏导，得到对应的**应力**：
$$ \frac{\partial U_0(\epsilon_{ij})}{\partial \epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} $$
  *   对**应力**求偏导，得到对应的**应变**：
$$ \frac{\partial U_0(\sigma_{ij})}{\partial \sigma_{ij}} = \epsilon_{ij} $$

这表明弹性变形能又称为**弹性势**。

===== 2. 虚位移原理 (Principle of Virtual Displacement) =====

这是能量法的核心基石。

**定义**: 在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体一个**微小虚位移**时，外力所做的**总虚功** ($\delta W$) 等于物体内部储存的**总虚应变能** ($\delta U$)。

$$ \delta W = \delta U $$

  *   **什么是虚位移 ($\delta u, \delta v, \delta w$)？**
    *   它是假想的、微小的位移。
    *   它必须满足几何约束条件（即在几何边界 $S_u$ 上，$\delta u = 0$）。
    *   它与时间无关，不涉及真实的运动过程。
    *   **理解**: 假定弹性体在虚位移过程中没有温度改变和速度改变（无热能或动能变化），根据能量守恒，外力做的功全部转化为形变势能。

**数学表达式**:
  *   **虚应变能**: $\delta U = \iiint_V \sigma_{ij} \delta \epsilon_{ij} \text{d}V$
  *   **外力虚功**: $\delta W = \iiint_V F_{bi} \delta u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i \delta u_i \text{d}S$
    *   第一项是体力 ($F_b$) 做功。
    *   第二项是面力 ($p$) 在应力边界 $S_\sigma$ 上做功。

**等价性证明**:
虚位移原理实际上等价于**平衡方程**加上**应力边界条件**。
$$ \int_V (\sigma_{ij,j} + F_{bi}) \delta u_i \text{d}V + \int_S (p_i - \sigma_{ij} n_j) \delta u_i \text{d}S = 0 $$
如果满足虚位移原理（上式为0），且 $\delta u_i$ 是任意的，那么括号内的项必须为0，即推出了平衡方程 $\sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0$ 和边界条件 $p_i = \sigma_{ij} n_j$。

===== 3. 最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy) =====

从虚位移原理可以推导出最小势能原理。

**总势能 ($\Pi_p$ 或 $E_t$) 定义**:
$$ \Pi_p = U - W = \iiint_V U_0(\epsilon_{ij}) \text{d}V - \left( \iiint_V F_{bi} u_i \text{d}V + \iint_{S_\sigma} p_i u_i \text{d}S \right) $$

**(注：这里 $W$ 视为外力势能的减少)**

**原理表述**:
在所有满足**几何边界条件** ($u_i = \bar{u}_i$ on $S_u$) 和**变形协调条件**的许可位移场中，**真实位移场使系统的总势能取驻值（通常是极小值）。**

$$ \delta \Pi_p = \delta (U - W) = 0 $$

  *   这是一个**变分问题**。
  *   它将求解微分方程的问题转化为了寻找泛函极值的问题。

===== 4. 瑞利-里兹法 (Rayleigh-Ritz Method) =====

瑞利-里兹法是利用最小势能原理进行近似求解的一种直接方法。

**求解步骤**:

  - **1. 假设位移函数**:
    选取一组包含待定系数 ($a_k, b_k, c_k$) 的函数来近似真实的位移场。
    
$$ u(x) \approx u_0 + \sum_{k=1}^n a_k u_k(x) $$

$$ v(x) \approx v_0 + \sum_{k=1}^n b_k v_k(x) $$
    
**关键点**: 选取的位移函数必须满足**位移边界条件** (几何边界条件)。不必满足力的边界条件，也不必满足平衡方程。
    

  - **2. 表达总势能**:

利用几何方程（求应变）和物理方程（求应力/应变能），将总势能 $\Pi_p$ 表示为这些待定系数的函数：

$$ \Pi_p = f(a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n, ...) $$

  - **3. 求解极值**:

根据最小势能原理，总势能取极小值，因此对每一个待定系数求偏导并令其为 0：

$$ \frac{\partial \Pi_p}{\partial a_k} = 0, \quad \frac{\partial \Pi_p}{\partial b_k} = 0, \quad ... $$

  - **4. 解代数方程组**:

上述步骤会得到一个关于系数的线性代数方程组。解出系数后，回代到位移函数中，即可得到近似解。

===== 5. 虚应力原理与最小余能原理 =====

与虚位移原理和最小势能原理相对偶（Dual）的概念。

==== 5.1 虚应力原理 (Principle of Virtual Stress) ====
又称**虚余功原理**。
*   **定义**: 当物体处于变形协调状态时，微小**虚外力**在真实位移上所做的总虚功 ($\delta W'$，余功)，等于**虚应力**在真实应变上所完成的总虚应变余能 ($\delta U'$)。
*   **条件**: 虚应力场必须满足**平衡方程**和**力的边界条件**。

==== 5.2 最小余能原理 (Principle of Minimum Complementary Energy) ====
  *   **总余能 ($\Pi_c$)**:

$$ \Pi_c = U^* - W^* = \iiint_V U_0^*(\sigma_{ij}) \text{d}V - \iint_{S_u} \bar{u}_i p_i \text{d}S $$

*(其中 $U_0^*$ 是余应变能密度)*
  *   **原理表述**: 在所有满足**平衡方程**和**力边界条件**的许可应力场中，**真实应力场使系统的总余能取极小值**。

$$ \delta \Pi_c = 0 $$



**对比总结**:
  *   **最小势能原理**: 找位移 $u$，需满足几何协调，目标是总势能最小。
  *   **最小余能原理**: 找应力 $\sigma$，需满足静力平衡，目标是总余能最小。



===== 6. 伽辽金法 (Galerkin Method) =====

伽辽金法是一种加权余量法 (Weighted Residual Method)，它比瑞利-里兹法应用范围更广，不仅用于弹性力学，也广泛用于流体力学等。

**核心思想**:
如果一个近似解 $u$ 不能精确满足微分方程（例如平衡方程），那么代入方程后会产生一个**残差** (Residual, $R$)。伽辽金法要求这个残差在求解域上的加权积分为 0。

$$ \int_V R \cdot W_i \text{d}V = 0 $$

在弹性力学中，利用虚位移原理的弱形式：
$$ \int_V (\sigma_{ij,j} + F_{bi}) \delta u_i \text{d}V = 0 $$
这里的 $\delta u_i$ 就相当于权函数。

**步骤**:
1.  假设位移函数 $u_i \approx \sum a_k \phi_k(x)$。

2.  这里的试函数 $\phi_k$ 既要满足位移边界条件，最好也能满足应力边界条件（虽然不是强制，但能提高精度）。

3.  将假设代入平衡方程，得到残差。

4.  令残差与试函数正交（即积分为0），建立方程组求解 $a_k$。

===== 7. 扩展知识：泛函与变分法 =====

为了深入理解能量法，需要数学上的**变分法**基础。

  *   **泛函 (Functional)**: 简单的说，就是“函数的函数”。
    *   普通函数: $y = f(x)$ (输入一个数，输出一个数)。
    *   泛函: $J = J[y(x)]$ (输入一个函数曲线，输出一个数值)。
    *   **例子**: 最速降线问题中，时间 $T$ 是路径曲线 $y(x)$ 的泛函。
  *   **变分 ($\delta$)**:
    *   函数的微分 $dy$: 自变量 $x$ 变化微小量 $dx$ 引起的函数值变化。
    *   泛函的变分 $\delta J$: 函数形式 $y(x)$ 发生微小改变 $\delta y$ (虚位移) 引起的泛函值变化。
  *   **极值条件**:
    *   函数极值: $dy/dx = 0$。
    *   泛函极值: $\delta J = 0$ (这就是为什么最小势能原理写成 $\delta \Pi_p = 0$)。

===== 8. 总结：数值计算方法的联系 =====

固体结构数值计算方法的发展脉络：

^ 强形式 (Strong Form) ^ 弱形式 (Weak Form) ^ 离散形式 (Discrete Form) ^
| **微分方程组** (平衡方程+边界条件) | **变分原理 / 虚功原理** (积分形式) | **代数方程组** ($Ku=F$) |
| 精确解难求 | 降低了对函数连续性的要求 | 计算机可解 |
| $\downarrow$ **加权余量法** | $\downarrow$ **伽辽金法** | **有限元法 (FEM)** |
| | $\uparrow$ **变分原理** | **瑞利-里兹法** |
| | **(能量) 泛函** | |

  *   **瑞利-里兹法** 直接基于 **最小势能原理 (泛函)**。
  *   **伽辽金法** 基于 **加权余量法**，但在弹性力学自伴随算子的情况下，它与瑞利-里兹法是等价的。
  *   **有限元法 (FEM)** 本质上就是**分段定义插值函数**的瑞利-里兹法或伽辽金法。它将复杂的全域函数简化为简单的单元形状函数（如线性、二次多项式），从而极大地简化了计算。
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