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===== 弹性力学基本原理 (Fundamental Principles of Elasticity) =====

在弹性力学问题的求解过程中，为了简化边界条件、确保解的可靠性以及处理复杂载荷，我们依赖于三大核心原理：**圣维南原理**、**解的唯一性定理**和**叠加原理**。

==== 1. 圣维南原理 (Saint-Venant's Principle) ====

圣维南原理是弹性力学中处理边界条件的重要工具，它允许我们将复杂的实际边界载荷简化为静力等效的简单载荷。

**表述：**
如果作用在弹性体表面上某一**不大**的局部面积上的力系，被作用在同一局部面积上的另一**静力等效**力系（即主矢量相同，主矩也相同）所代替，则载荷的这种重新分布，只在离载荷作用处**很近**的地方，才使应力的分布发生显著的变化，而在离载荷较远（通常认为距离大于载荷作用区域的线性尺寸）处只有极小的影响。

**应用场景：**
  *   **简化边界条件：** 在工程实际中，很难精确描述杆端具体的面力分布（例如拉伸试验机夹头的具体夹持力）。根据圣维南原理，我们只需要知道端部合力和合力矩，就可以按简单的分布（如均匀分布或线性分布）来计算远离端部的应力。
  *   **应力集中：** 说明了孔边、切口等处的应力集中现象具有局部性。


**数学证明参考：**
圣维南原理的严格数学证明较为复杂，可参考：
  *   Sternberg E., Quart, Appl. Math. 11, NO. 4, 1954
  *   Sternberg E. and Koiter W. T., J. Appl. Mech., 25, 575-581, (1958)
  *   Flavin, J. N., ZAMP, vol. 29, (1978), 328-332


==== 2. 解的唯一性定理 (Uniqueness Theorem) ====

在研究弹性力学问题时，必须回答解是否存在以及是否唯一的问题。

**定理表述：**

在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，如果给定了边界条件（位移边界、力边界或混合边界），则其应力和应变的解是**唯一**的。

  *(注：位移的解包含6个表征刚体位移的任意常数，但在确定了约束条件排除刚体位移后，位移解也是唯一的。)*

**证明过程：**

采用**反证法**。

1.  **假设**：设问题的解不唯一，存在两组不同的应力解 $\sigma_{ij}^{(1)}$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)}$，对应的位移为 $u_i^{(1)}$ 和 $u_i^{(2)}$。

2.  **构造差量**：

定义差量状态：

$$ \sigma_{ij}^* = \sigma_{ij}^{(1)} - \sigma_{ij}^{(2)} $$

$$ u_i^* = u_i^{(1)} - u_i^{(2)} $$

3.  **满足方程**：

由于 $\sigma_{ij}^{(1)}$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)}$ 都满足平衡方程和协调方程，且体力 $F_{bi}$ 相同。

代入平衡方程 $\sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0$ 相减得：

$$ \sigma_{ij,j}^* = 0 $$

这表明差量状态对应于**无体力**的状态。

4.  **满足边界条件**：

设边界条件为 $\sigma_{ij}^{(1)} n_j = P_i$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)} n_j = P_i$（在力边界上）。

相减得：

$$ \sigma_{ij}^* n_j = 0 $$

这表明差量状态对应于**无面力**的状态。

5.  **能量分析与结论**：

差量状态 $\sigma_{ij}^*$ 对应于一个**无体力、无面力**的自然状态。

根据物理定义，无外力作用的自然状态下，物体内部无应力、无应变（忽略残余应力）。

因此，在全部体积内必有：

$$ \sigma_{ij}^* = 0 \implies \sigma_{ij}^{(1)} = \sigma_{ij}^{(2)} $$
    

**证毕。**

==== 3. 线性叠加原理 (Principle of Superposition) ====

叠加原理是将复杂受力问题分解为简单受力问题的理论基础。

**适用条件：**

1.  **线弹性**材料（服从胡克定律）。

2.  **小变形**假设（平衡方程建立在变形前的几何形状上）。

**原理表述：**

如果物体同时受到几组载荷（体力、面力）的作用，那么物体内引起的应力、应变和位移，等于每一组载荷单独作用时所引起的应力、应变和位移的**代数和**（或矢量和）。

**证明过程：**

设物体受到两组载荷作用：
  *   第一组：体力 $F_{bi}$，面力 $p_i$，产生应力 $\sigma_{ij}$
  *   第二组：体力 $F'_{bi}$，面力 $p'_i$，产生应力 $\sigma'_{ij}$

1.  **平衡方程的线性性**：

$$ \sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0 $$

$$ \sigma'_{ij,j} + F'_{bi} = 0 $$

两式相加：

$$ (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})_{,j} + (F_{bi} + F'_{bi}) = 0 $$

说明**合应力**满足在**合体力**作用下的平衡方程。

2.  **边界条件的线性性**：

$$ p_i = \sigma_{ij} n_j $$


$$ p'_i = \sigma'_{ij} n_j $$

两式相加：

$$ (p_i + p'_i) = (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij}) n_j $$

说明**合应力**满足在**合面力**作用下的边界条件。

3.  **结论**：
 
同理，几何方程和物理方程（胡克定律）都是线性方程。因此，$(\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})$ 必然是满足由合载荷 $(p_i + p'_i)$ 和 $(F_{bi} + F'_{bi})$ 构成的边值问题的解。


**证毕。**
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