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==== 广义胡克定律 (Generalized Hooke's Law) ====

广义胡克定律是描述弹性体在比例极限内，应力与应变之间线性关系的物理方程。它是弹性力学中最基本的本构方程。

=== 1. 应变形式 (Strain Form) ===

这是广义胡克定律最常见的形式，表达了应变分量如何由应力分量决定。

**常规形式 (Engineering Notation):**
根据叠加原理，单向受力引起的形变叠加即可得到三向受力状态下的胡克定律：

$$
\begin{cases}
\varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] \\
\varepsilon_y = \frac{1}{E} [\sigma_y - \nu (\sigma_x + \sigma_z)] \\
\varepsilon_z = \frac{1}{E} [\sigma_z - \nu (\sigma_x + \sigma_y)]
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
\gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G} \\
\gamma_{zx} = \frac{\tau_{zx}}{G} \\
\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}
\end{cases}
$$

其中：
  * $E$：杨氏模量 (Young's Modulus)
  * $\nu$：泊松比 (Poisson's Ratio)
  * $G$：剪切模量 (Shear Modulus)，且 $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$

**张量形式 (Tensor Notation):**
使用双下标表示法（如 $\sigma_{xx}$ 代替 $\sigma_x$），方程形式如下：

$$
\begin{cases}
\varepsilon_{xx} = \frac{1}{E} [\sigma_{xx} - \nu (\sigma_{yy} + \sigma_{zz})] \\
\varepsilon_{yy} = \frac{1}{E} [\sigma_{yy} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{zz})] \\
\varepsilon_{zz} = \frac{1}{E} [\sigma_{zz} - \nu (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})]
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
\varepsilon_{yz} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{yz} \\
\varepsilon_{zx} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{zx} \\
\varepsilon_{xy} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{xy}
\end{cases}
$$


注意：在张量形式中，切应变通常定义为 $\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\gamma_{ij}$，因此系数中出现了 $1+\nu$ 而不是直接除以 $G$（因为 $\frac{1}{G} = \frac{2(1+\nu)}{E}$）。


=== 2. 应力形式的推导 (Derivation of Stress Form) ===

在有限元分析等应用中，我们常需要用应变来表示应力。以下是从应变形式推导应力形式的详细过程。

**第一步：引入体积应变与体积应力**

将应变形式的三个正应变方程相加：

$$ \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = \frac{1}{E} [(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) - 2\nu(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)] $$

令 **体积应变** $\theta$ (或 $e$) 和 **体积应力** (第一应力不变量) $\Theta$ 分别为：

$$ \theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$

$$ \Theta = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z $$

代入上式整理得：

$$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta \quad \Rightarrow \quad \Theta = \frac{E}{1-2\nu}\theta \quad \dots (1) $$

**第二步：消元求解 $\sigma_x$**

取 $\varepsilon_x$ 的原始方程：

$$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] $$

利用 $\sigma_y + \sigma_z = \Theta - \sigma_x$ 进行代换：

$$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\Theta - \sigma_x)] = \frac{1}{E} [(1+\nu)\sigma_x - \nu\Theta] $$

将 (1) 式中的 $\Theta$ 代入：

$$ \varepsilon_x = \frac{1+\nu}{E}\sigma_x - \frac{\nu}{E} \cdot \frac{E}{1-2\nu}\theta $$

**第三步：解出 $\sigma_x$**

整理上述方程：

$$ \frac{1+\nu}{E}\sigma_x = \varepsilon_x + \frac{\nu}{1-2\nu}\theta $$

$$ \sigma_x = \frac{E}{1+\nu}\varepsilon_x + \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\theta $$

同理可得 $\sigma_y, \sigma_z$。切应力与切应变关系直接由 $\tau = G\gamma$ 得到。

=== 3. 应力形式 (Stress Form) ===

根据上述推导，我们可以写出两种常见的应力形式表达。

**拉梅常数形式 (Lamé Constants Form):**

为了简化公式，引入拉梅常数 $\lambda$ 和 $\mu$：

$$ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \quad \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} $$

则本构方程简化为：

$$
\begin{cases}
\sigma_x = \lambda\theta + 2\mu\varepsilon_x \\
\sigma_y = \lambda\theta + 2\mu\varepsilon_y \\
\sigma_z = \lambda\theta + 2\mu\varepsilon_z
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
\tau_{xy} = \mu\gamma_{xy} \\
\tau_{yz} = \mu\gamma_{yz} \\
\tau_{zx} = \mu\gamma_{zx}
\end{cases}
$$

**常规参数形式:**

直接使用 $E$ 和 $\nu$ 表示：

$$
\sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_x + \nu(\varepsilon_y + \varepsilon_z)]
$$

  * (注：此处利用了 $\theta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$ 展开整理)*

同理：

$$ \sigma_y = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_y + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_z)] $$

$$ \sigma_z = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\varepsilon_z + \nu(\varepsilon_x + \varepsilon_y)] $$

=== 4. 体积应力与体积应变 (Volumetric Stress & Strain) ===

**物理意义：**

取微小六面体单元，其原始体积为 $V_0 = dxdydz$。变形后的体积 $V$ 略去高阶微量后，体积的变化率（体积应变）为：

$$ \theta = \frac{V - V_0}{V_0} \approx \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$

$\theta$ 代表了物体体积的相对变化。对于不可压缩材料（如橡胶），$\nu \approx 0.5$，此时 $\theta \approx 0$。

**体积模量 (Bulk Modulus):**

定义 **平均应力** (Mean Stress) $\sigma_m$ 为三个正应力的平均值：

$$ \sigma_m = \frac{1}{3}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{1}{3}\Theta $$

回顾推导过程中的公式 (1)：

$$ \theta = \frac{1-2\nu}{E} \Theta = \frac{1-2\nu}{E} (3\sigma_m) $$

整理得到平均应力与体积应变的关系：

$$ \sigma_m = \frac{E}{3(1-2\nu)} \theta $$

定义 **体积模量** $K$ 为：

$$ K = \frac{\sigma_m}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} $$

即：

$$ \sigma_m = K\theta $$


**扩展知识：热应力 (Thermal Stress)**

如果考虑温度变化 $\Delta T$，广义胡克定律需要修正。由于热胀冷缩产生的正应变（各向同性）为 $\alpha \Delta T$，修正后的应变形式为：

$$ \varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z)] + \alpha \Delta T $$

其中 $\alpha$ 为线性热膨胀系数。
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