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====== 第八章 常系数线性微分方程组 ======

===== 8.1 引言 =====

常系数线性微分方程组是线性方程组中最重要的特例，其系数矩阵 $A$ 为常数矩阵。这类方程组有系统的求解方法，应用十分广泛。

标准形式：
$\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$

其中 $A$ 是 $n \times n$ 常数矩阵。

===== 8.2 齐次常系数线性方程组 =====

==== 8.2.1 指数函数试探法 ====

对于齐次方程 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，设解为 $\mathbf{x} = \mathbf{\xi}e^{\lambda t}$，其中 $\mathbf{\xi}$ 是常向量，$\lambda$ 是常数。

代入方程：
$\lambda\mathbf{\xi}e^{\lambda t} = A\mathbf{\xi}e^{\lambda t}$

即 $A\mathbf{\xi} = \lambda\mathbf{\xi}$，这正是矩阵 $A$ 的特征值问题！

**结论：** $\lambda$ 必须是 $A$ 的特征值，$\mathbf{\xi}$ 是对应的特征向量。

==== 8.2.2 特征值与特征向量法 ====

**情况一：特征值为互异实数**

设 $A$ 有 $n$ 个互异实特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$，对应特征向量 $\mathbf{\xi}_1, \ldots, \mathbf{\xi}_n$。

基本解组： $\mathbf{\varphi}_k = \mathbf{\xi}_k e^{\lambda_k t}, k = 1, \ldots, n$

通解：$\mathbf{x} = c_1\mathbf{\xi}_1e^{\lambda_1 t} + \cdots + c_n\mathbf{\xi}_ne^{\lambda_n t}$

**例 8.1** 求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\mathbf{x}$。

**解：** 特征方程：
$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$

特征值： $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5$

对 $\lambda_1 = 2$：
$(A - 2I)\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0$，特征向量 $\mathbf{\xi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

对 $\lambda_2 = 5$：
$(A - 5I)\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0$，特征向量 $\mathbf{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

通解：
$\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{2t} + c_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}e^{5t}$

**情况二：复特征值**

设 $\lambda = \alpha + i\beta$ 是特征值，$\mathbf{\xi} = \mathbf{a} + i\mathbf{b}$ 是对应特征向量。

复值解：$\mathbf{x} = \mathbf{\xi}e^{\lambda t} = (\mathbf{a} + i\mathbf{b})e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t}(\mathbf{a} + i\mathbf{b})(\cos\beta t + i\sin\beta t)$

分离实部和虚部得两个实值解：
$\mathbf{u} = e^{\alpha t}(\mathbf{a}\cos\beta t - \mathbf{b}\sin\beta t)$
$\mathbf{v} = e^{\alpha t}(\mathbf{a}\sin\beta t + \mathbf{b}\cos\beta t)$

**例 8.2** 求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x}$。

**解：** 特征方程 $\lambda^2 + 1 = 0$，特征值 $\lambda = \pm i$。

对 $\lambda = i$：
$\begin{pmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0$，特征向量 $\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + i\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

实值解：
$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} \cos t \\ -\sin t \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$

通解：
$\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} \cos t \\ -\sin t \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$

**情况三：重特征值**

设 $\lambda$ 是 $k$ 重特征值。

若几何重数 = 代数重数 = $k$，则有 $k$ 个线性无关特征向量。

若几何重数 < 代数重数，需要用**广义特征向量**构造解。

对二重特征值 $\lambda$，若只有一个特征向量 $\mathbf{\xi}$，则另一解为：
$\mathbf{x} = (\mathbf{\xi}t + \mathbf{\eta})e^{\lambda t}$
其中 $\mathbf{\eta}$ 满足 $(A - \lambda I)\mathbf{\eta} = \mathbf{\xi}$。

**例 8.3** 求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}$。

**解：** 特征方程 $(3-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$。

重根 $\lambda = 2$。

特征向量： $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{\xi} = 0$，$\mathbf{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

求广义特征向量 $\mathbf{\eta}$：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{\eta} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$，取 $\mathbf{\eta} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

通解：
$\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{2t} + c_2\left[\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right]e^{2t}$

===== 8.3 矩阵指数函数 =====

==== 8.3.1 定义与性质 ====

**定义 8.1** 对 $n \times n$ 矩阵 $A$，定义**矩阵指数**
$e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k t^k}{k!} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \cdots$

**性质：**
  * $e^{A \cdot 0} = I$
  * $\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A$
  * $e^{A(t+s)} = e^{At}e^{As}$
  * 若 $AB = BA$，则 $e^{(A+B)t} = e^{At}e^{Bt}$

==== 8.3.2 基本解矩阵 ====

**定理 8.1** $\Phi(t) = e^{At}$ 是齐次方程组 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ 的基本解矩阵，且满足 $\Phi(0) = I$（标准基本解矩阵）。

**证明：** 由定义直接验证 $\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}$，且 $e^{A \cdot 0} = I$，故列向量线性无关。

==== 8.3.3 计算方法 ====

**方法1：Jordan标准形**

若 $A = PJP^{-1}$，其中 $J$ 是Jordan标准形，则 $e^{At} = Pe^{Jt}P^{-1}$。

**方法2：Cayley-Hamilton定理**

设 $A$ 的特征多项式为 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$，则 $p(A) = 0$。

利用此定理可将 $e^{At}$ 表示为 $I, A, \ldots, A^{n-1}$ 的线性组合。

**例 8.4** 计算 $e^{At}$，其中 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

**解：** $A^2 = 0$，故
$e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

**例 8.5** 计算 $e^{At}$，其中 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。

**解：** $A^2 = -I, A^3 = -A, A^4 = I, \ldots$

$e^{At} = I + At - \frac{It^2}{2!} - \frac{At^3}{3!} + \frac{It^4}{4!} + \cdots$
$= I(1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots) + A(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots)$
$= I\cos t + A\sin t = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$

===== 8.4 非齐次常系数线性方程组 =====

==== 8.4.1 常数变易公式 ====

利用基本解矩阵 $\Phi(t) = e^{At}$，非齐次方程的特解为：
$\mathbf{\psi}(t) = e^{At}\int e^{-As}\mathbf{f}(s)ds$

满足初值 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ 的解：
$\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{f}(s)ds$

这称为**常数变易公式**或**Duhamel原理**。

**例 8.6** 求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ \sin t \end{pmatrix}, \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

**解：** 已知 $e^{At} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$。

齐次部分： $e^{At}\mathbf{x}_0 = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \end{pmatrix}$

特解部分：
$\int_0^t e^{A(t-s)}\begin{pmatrix} 0 \\ \sin s \end{pmatrix}ds = \begin{pmatrix} \frac{t\sin t}{2} - \frac{\sin t}{2} \\ -\frac{t\cos t}{2} \end{pmatrix}$

通解略（见第七章例）。

===== 8.5 习题 =====

**习题 8.1** 求解下列齐次方程组：

a) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}$

b) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}$

c) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{x}$

**习题 8.2** 计算下列矩阵的指数函数 $e^{At}$：

a) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

b) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

c) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

**习题 8.3** 求解初值问题：
$\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

**习题 8.4** 设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，证明：

a) $(e^{At})^{-1} = e^{-At}$

b) 若 $A$ 是反对称矩阵（$A^T = -A$），则 $e^{At}$ 是正交矩阵。

**习题 8.5** 求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^t \\ 0 \end{pmatrix}$。

===== 8.6 参考答案 =====

**习题 8.1**

a) $\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}e^{4t} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{-t}$

b) $\mathbf{x} = e^t(c_1\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix})$

c) $\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3t} + c_2\left[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right]e^{3t}$

**习题 8.2**

a) $\begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix} e^t & te^t \\ 0 & e^t \end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$

**习题 8.3** $\mathbf{x} = e^{2t}\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$

**习题 8.5** $\mathbf{x} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}e^{3t} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}e^{-t} - \begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/2 \end{pmatrix}e^t$

===== 8.7 本章小结 =====

本章主要内容：

  * **特征值方法**：求解齐次常系数方程组的核心方法
    - 互异实特征值：指数函数乘以特征向量
    - 复特征值：分离实部虚部得三角函数解
    - 重特征值：可能需要广义特征向量
  
  * **矩阵指数函数**
    - 定义与性质
    - $e^{At}$ 是标准基本解矩阵
    - 计算方法（Jordan形、Cayley-Hamilton）
  
  * **非齐次方程**
    - 常数变易公式（Duhamel原理）
    - 初值问题的显式解

特征值方法是理解线性系统动力学的关键工具。
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