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====== 第二章 一阶微分方程 ======

===== 2.1 引言 =====

一阶微分方程是常微分方程中最基础也是最重要的部分，许多实际问题都可以归结为一阶微分方程。本章将系统介绍几类可解析求解的一阶微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、线性方程和恰当方程。

一阶微分方程的一般形式为：
$F(x, y, y') = 0$

或解出 $y'$ 的形式：
$y' = f(x, y)$

===== 2.2 可分离变量方程 =====

==== 2.2.1 定义 ====

**定义 2.1** 形如
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
的一阶微分方程称为**可分离变量方程**，其中 $f(x)$ 和 $g(y)$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的连续函数。

==== 2.2.2 解法 ====

当 $g(y) \neq 0$ 时，可将方程改写为：
$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$

两边积分得：
$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C$

如果存在 $y_0$ 使 $g(y_0) = 0$，则 $y = y_0$ 也是方程的解（可能是奇解）。

**例 2.1** 求解方程 $\frac{dy}{dx} = xy$。

**解：** 当 $y \neq 0$ 时，分离变量得：
$\frac{dy}{y} = xdx$

两边积分：
$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$

即 $|y| = e^{C_1}e^{x^2/2}$，令 $C = \pm e^{C_1}$，得：
$y = Ce^{x^2/2}$

当 $y = 0$ 时，代入原方程验证也是解。实际上它包含在上述通解中（$C = 0$）。

==== 2.2.3 应用：衰变与增长模型 ====

**例 2.2** (放射性衰变) 放射性物质的衰变速率与现存量成正比，设比例常数为 $k > 0$。若初始时刻有 $N_0$ 克物质，求 $t$ 时刻的物质量 $N(t)$。

**解：** 建立方程：
$\frac{dN}{dt} = -kN$

分离变量并积分：
$\int \frac{dN}{N} = -k\int dt$
$\ln N = -kt + C$

由 $N(0) = N_0$ 得 $C = \ln N_0$，故：
$N(t) = N_0 e^{-kt}$

半衰期 $T$ 满足 $N(T) = \frac{N_0}{2}$，即：
$e^{-kT} = \frac{1}{2}, \quad T = \frac{\ln 2}{k}$

**例 2.3** (种群增长) 假设某种群的增长率与种群数量成正比（Malthus模型），初始种群为 $P_0$，求种群数量随时间的变化规律。

**解：** 设 $P(t)$ 为 $t$ 时刻的种群数量，则：
$\frac{dP}{dt} = rP, \quad P(0) = P_0$

解得：
$P(t) = P_0 e^{rt}$

其中 $r$ 为内禀增长率。

===== 2.3 齐次方程 =====

==== 2.3.1 定义 ====

**定义 2.2** 形如
$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$
的一阶微分方程称为**齐次方程**。

更一般地，若 $M(x, y)$ 和 $N(x, y)$ 是同次齐次函数，则方程 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 也是齐次方程。

==== 2.3.2 解法 ====

令 $u = \frac{y}{x}$，即 $y = ux$，则：
$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

代入原方程：
$u + x\frac{du}{dx} = f(u)$

分离变量：
$\frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}$

积分后回代 $u = \frac{y}{x}$ 即得通解。

**例 2.4** 求解 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。

**解：** 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。

代入得：
$u + x\frac{du}{dx} = u + \frac{1}{u}$

即 $x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}$，分离变量：
$u\, du = \frac{dx}{x}$

积分：
$\frac{u^2}{2} = \ln|x| + C_1$

即 $u^2 = 2\ln|x| + C$。

回代得通解：
$\frac{y^2}{x^2} = 2\ln|x| + C$
或 $y^2 = x^2(2\ln|x| + C)$

==== 2.3.3 可化为齐次方程的方程 ====

形如 $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\right)$ 的方程。

**情况一：** 若 $c_1 = c_2 = 0$，已是齐次方程。

**情况二：** 若 $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$，作平移变换 $x = \xi + h, y = \eta + k$，取 $h, k$ 满足 $a_1h + b_1k + c_1 = 0, a_2h + b_2k + c_2 = 0$，化为齐次方程。

**情况三：** 若 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \lambda$，令 $v = a_2x + b_2y$，化为可分离变量方程。

===== 2.4 一阶线性微分方程 =====

==== 2.4.1 定义 ====

**定义 2.3** 形如
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$
的方程称为**一阶线性微分方程**，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是已知连续函数。

当 $q(x) \equiv 0$ 时，称为**齐次线性方程**；当 $q(x) \not\equiv 0$ 时，称为**非齐次线性方程**。

==== 2.4.2 齐次线性方程的解法 ====

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ 是可分离变量方程。

分离变量并积分：
$\frac{dy}{y} = -p(x)dx$
$\ln|y| = -\int p(x)dx + C_1$

通解为：
$y = Ce^{-\int p(x)dx}$
其中 $C$ 为任意常数。

==== 2.4.3 非齐次线性方程的解法——常数变易法 ====

**步骤：**

1. 先求对应齐次方程的通解 $y = Ce^{-\int p(x)dx}$

2. 将常数 $C$ 换成待定函数 $C(x)$，设非齐次方程的解为：

$y = C(x)e^{-\int p(x)dx}$

3. 代入非齐次方程确定 $C(x)$

计算：$\frac{dy}{dx} = C'(x)e^{-\int p(x)dx} - C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}$

代入原方程：
$C'(x)e^{-\int p(x)dx} = q(x)$

故：
$C(x) = \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C$

**通解公式：**
$y = e^{-\int p(x)dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C\right]$

**例 2.5** 求解 $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^2$。

**解：** $p(x) = -\frac{2}{x}, q(x) = x^2$

$\int p(x)dx = -2\ln|x| = \ln x^{-2}$

$e^{\int p(x)dx} = x^{-2}, e^{-\int p(x)dx} = x^2$

$\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx = \int x^2 \cdot x^{-2}dx = \int dx = x$

通解：
$y = x^2(x + C) = x^3 + Cx^2$

==== 2.4.4 应用：RL电路 ====

**例 2.6** 串联RL电路中，电阻为 $R$，电感为 $L$，电源电动势为 $E$。求电流 $i(t)$ 的变化规律，设 $i(0) = 0$。

**解：** 由Kirchhoff定律：
$L\frac{di}{dt} + Ri = E$

即 $\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = \frac{E}{L}$

通解：
$i(t) = e^{-\frac{R}{L}t}\left[\int \frac{E}{L}e^{\frac{R}{L}t}dt + C\right] = \frac{E}{R} + Ce^{-\frac{R}{L}t}$

由 $i(0) = 0$ 得 $C = -\frac{E}{R}$，故：
$i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$

===== 2.5 Bernoulli方程 =====

==== 2.5.1 定义 ====

**定义 2.4** 形如
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n$
的方程称为**Bernoulli方程**，其中 $n \neq 0, 1$。

==== 2.5.2 解法 ====

当 $y \neq 0$ 时，两边除以 $y^n$：
$y^{-n}\frac{dy}{dx} + p(x)y^{1-n} = q(x)$

令 $z = y^{1-n}$，则 $\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$。

代入得线性方程：
$\frac{dz}{dx} + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)$

**例 2.7** 求解 $\frac{dy}{dx} + y = xy^3$。

**解：** $n = 3$，令 $z = y^{-2}$，则 $\frac{dz}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$。

原方程变为：
$-\frac{1}{2}\frac{dz}{dx} + z = x$
即 $\frac{dz}{dx} - 2z = -2x$

解得：$z = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}$

回代得：$\frac{1}{y^2} = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}$

===== 2.6 恰当方程 =====

==== 2.6.1 定义 ====

**定义 2.5** 形如
$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$
的方程，若存在二元函数 $u(x, y)$ 使得
$du = Mdx + Ndy$
即 $\frac{\partial u}{\partial x} = M, \frac{\partial u}{\partial y} = N$，
则称该方程为**恰当方程**或**全微分方程**。

此时方程可写为 $du = 0$，通解为 $u(x, y) = C$。

==== 2.6.2 恰当条件 ====

**定理 2.1** 设 $M(x, y)$ 和 $N(x, y)$ 在矩形区域 $D$ 内有连续的一阶偏导数，则方程 $Mdx + Ndy = 0$ 为恰当方程的充分必要条件是：
$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

**证明：** (必要性) 若方程恰当，则存在 $u$ 使 $\frac{\partial u}{\partial x} = M, \frac{\partial u}{\partial y} = N$。
故 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。

**例 2.8** 验证 $(2xy + 1)dx + (x^2 + 3y^2)dy = 0$ 为恰当方程并求解。

**解：** $M = 2xy + 1, N = x^2 + 3y^2$

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x = \frac{\partial N}{\partial x}$，是恰当方程。

求 $u(x, y)$：
$u = \int M dx = \int (2xy + 1)dx = x^2y + x + \varphi(y)$

由 $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + \varphi'(y) = N = x^2 + 3y^2$

得 $\varphi'(y) = 3y^2$，故 $\varphi(y) = y^3$。

通解：$x^2y + x + y^3 = C$

==== 2.6.3 积分因子 ====

若非恰当方程乘以某函数 $\mu(x, y)$ 后成为恰当方程，则 $\mu$ 称为**积分因子**。

**常用积分因子求法：**

若 $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \varphi(x)$ 仅为 $x$ 的函数，则积分因子 $\mu(x) = e^{\int \varphi(x)dx}$。

若 $\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \psi(y)$ 仅为 $y$ 的函数，则积分因子 $\mu(y) = e^{\int \psi(y)dy}$。

===== 2.7 习题 =====

**习题 2.1** 求解下列可分离变量方程：

a) $\frac{dy}{dx} = x(1 + y^2)$

b) $y' = e^{x+y}$

**习题 2.2** 求解下列齐次方程：

a) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$

b) $(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$

**习题 2.3** 求解下列线性方程：

a) $y' + 2xy = xe^{-x^2}$

b) $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x^3$

**习题 2.4** 求解下列Bernoulli方程：

a) $y' + y = y^2e^x$

b) $xy' + y = xy^2\ln x$

**习题 2.5** 求解下列恰当方程（或求积分因子）：

a) $(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0$

b) $ydx - xdy = 0$

**习题 2.6** 一容器内有100升盐水，含盐10千克。以每分钟3升的速度注入清水，同时以相同速度排出混合均匀的盐水。求容器中盐量随时间的变化规律及1小时后的含盐量。

===== 2.8 参考答案 =====

**习题 2.1**

a) $\arctan y = \frac{x^2}{2} + C$

b) $e^x + e^{-y} = C$

**习题 2.2**

a) $y = \frac{x}{C + \ln|x|}$

b) $y^2 = x^2(2\ln|x| + C)$

**习题 2.3**

a) $y = e^{-x^2}\left(\frac{x^2}{2} + C\right)$

b) $y = \frac{x^4}{3} + Cx$

**习题 2.4**

a) $\frac{1}{y} = Ce^x - e^x$ 或 $y = 0$

b) $\frac{1}{y} = 1 + \ln x + Cx$

**习题 2.5**

a) $x^3 + 3x^2y^2 + y^4 = C$

b) $\frac{x}{y} = C$ (积分因子 $\frac{1}{y^2}$)

**习题 2.6** $S(t) = 10e^{-0.03t}$，1小时后约3.7千克

===== 2.9 本章小结 =====

本章主要内容包括：

  * **可分离变量方程**：直接分离变量后积分
  * **齐次方程**：用代换 $u = y/x$ 化为可分离变量方程
  * **一阶线性方程**：常数变易法或公式法
  * **Bernoulli方程**：用代换 $z = y^{1-n}$ 化为线性方程
  * **恰当方程**：恰当条件 $M_y = N_x$，求势函数
  * **积分因子**：将非恰当方程化为恰当方程
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