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202606162300

====== 进制 ======

|进制|数码|基数|位权|
|二进制(B)|0,1|2|$2^k$|
|八进制(O)|0,1,2,3,4,5,6,7|8|$8^k$|
|十进制(D)|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9|10|$10^k$|
|十六进制(H)|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F|16|$16^k$|

位权：数字中每个位置对应的单位值。


====== 十进制与其他进制之间的转换 ======
1）其他进制转十进制

R进制数：$X_{m-1}··· X_{0} X_{-1}··· X_{-n} = \Sigma_{k=-n}^{k=m-1} X_{k} R^{k} $

例如二进制：$101.01=1 \times 2^2+1 \times 2^0+1 \times 2^{-2}=5.25$

2) 十进制转其他进制

|位置|整数部分：连除取余法| 小数部分：连乘取整法|
|表示|$N = (d_{m-1} \cdots d_1 d_0)_R$| $F = (0.d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n})_R$|
|d值|其中每一位由连续除以R的余数决定| 其中每一位由连续乘以R的整数部分决定|
|公式|$N_0 = N$ \\ $N_{i+1} = \lfloor N_i / R \rfloor \quad (i = 0,1,2,\cdots) $ \\ $d_i = N_i \bmod R \quad \text{(余数，取值范围 } 0 \sim R-1\text{)}$| $F_0 = F \quad \text{(纯小数部分)} $ \\ $F_{i+1} = \text{frac}(F_i \times R) \quad \text{(取小数部分继续)} $ \\ $d_{-i} = \lfloor F_i \times R \rfloor \quad \text{(乘积的整数部分，作为下一位)}$ |
|停止条件|当 $N_{i+1} = 0 $时停止，最后得到的余数 $d_{m-1}$ 作为最高位。|精确转换：当 F_{i+1} = 0 时停止（小数部分乘尽） \\ 近似转换：达到所需精度位数时停止（如保留 n 位小数）|
| 示例 |十进制 19 转二进制 (R=2) \\ 19 ÷ 2 = 9 余 1 $(d_0)$ \\ 9 ÷ 2 = 4 余 1 $(d_1)$ \\ 4 ÷ 2 = 2 余 0 $(d_2)$ \\ 2 ÷ 2 = 1 余 0 $(d_3)$ \\ 1 ÷ 2 = 0 余 1 $(d_4)$ 停止 \\ 结果： $(10011)_2$ | 十进制 0.625 转二进制 (R=2) \\ 0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1 $(d_{-1})$，剩余 0.25 \\ 0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 0 $(d_{-2})$，剩余 0.5 \\ 0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 1 $(d_{-3})$，剩余 0.0 停止 \\ 结果： $(0.101)_2$ |

若数含整数部分 N 和小数部分 F，则：

$(N.F)_{10} = (N)_{10} \text{转} R \quad + \quad (0.F)_{10} \text{转} R$

两部分分别转换，最后用小数点拼接。

示例： 19.625 转二进制 = $(10011)_2 + (0.101)_2 = (10011.101)_2 $

特殊情况：无限循环

有些十进制小数无法精确转换成二进制（如 0.1），会形成循环：

$0.1_{10} = (0.000110011001100\cdots)_2 = (0.0\overline{0011})_2$

此时按精度要求截断即可。

====== 二、八、十六进制之间的转换 ======

^ 转换方向 ^ 方法 ^ 示例 ^
| 二进制 → 八进制 | 整数部分**从右往左**，小数部分**从左往右**，每 **3 位**一组，不足补 0， \\ 每组换 1 位八进制 | (10 111 101.010 1)₂ = (275.24)₈ |
| 八进制 → 二进制 | 每位八进制数展开成 **3 位**二进制（高位补 0） | (275.24)₈ = (010 111 101.010 100)₂ |
| 二进制 → 十六进制 | 整数部分**从右往左**，小数部分**从左往右**，每 **4 位**一组，不足补 0， \\ 每组换 1 位十六进制 | (1011 1101.0101)₂ = (BD.5)₁₆ |
| 十六进制 → 二进制 | 每位十六进制数展开成 **4 位**二进制（高位补 0） | (BD.5)₁₆ = (1011 1101.0101)₂ |
| 八进制 ↔ 十六进制 | **以二进制为桥梁**：八进制→二进制→十六进制（反之亦然） | (275)₈ → (010111101)₂ → (0BD)₁₆ = (BD)₁₆ |

====== 含符号数值的表示 ======

^ 码制 ^ 转换规则  ^ 示例（N = -25） ^ 特点 ^ 主要用途 ^
| 原码 | 符号位：0正1负 \\ 数值位：真值的绝对值 | 符号位1，数值位011001 → **10011001** | 0有+0和-0两种表示 | **人类直观理解**，用于输入输出显示，不参与运算 |
| 反码 | 正数：同原码 \\ 负数：符号位不变，数值位按位取反 | 原码10011001 → 符号位1不变，数值位0011001取反得1100110 → **11100110** | 0有两种表示，加减需循环进位 | **中间过渡桥梁**，补码的中间步骤，现代计算机不用 |
| 补码 | 正数：同原码 \\ 负数：反码末位+1（符号位不变） | 反码11100110 + 1 → **11100111** | **计算机实际使用**，0唯一，减法统一为加法 | **整数运算核心**，CPU中的整数都用补码表示和计算 |
| 移码 | **补码符号位取反** \\ （数值位不变） | 补码11100111 → 符号位1变0 → **01100111** | 便于浮点数阶码比较，0唯一 | **浮点数阶码**，便于比较指数大小（IEEE 754标准使用） |
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