线性代数:线性方程组

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线性代数:线性方程组 [2026/02/18 19:31] – 创建 张叶安线性代数:线性方程组 [2026/02/18 19:34] (当前版本) – [3.7 习题] 张叶安
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 **线性方程组的初等变换：** **线性方程组的初等变换：**
 +
 1. **互换**：交换两个方程的位置 1. **互换**：交换两个方程的位置
 +
 2. **倍乘**：用非零常数乘某一方程 2. **倍乘**：用非零常数乘某一方程
 +
 3. **倍加**：将某方程的倍数加到另一方程上 3. **倍加**：将某方程的倍数加到另一方程上
  
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 **基础题** **基础题**
 1. 用高斯消元法解方程组： 1. 用高斯消元法解方程组：
-   $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \end{cases}$$+ 
 +$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \end{cases}$$
  
 2. 求齐次方程组的基础解系： 2. 求齐次方程组的基础解系：
-   $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}$$+ 
 +$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}$$
  
 **提高题** **提高题**
 3. 讨论 $a$ 取何值时，方程组有解： 3. 讨论 $a$ 取何值时，方程组有解：
-   $$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3 \\ x_1 + ax_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}$$+ 
 +$$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3 \\ x_1 + ax_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}$$
  
 4. 设 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$R(A) = 2$，已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 $Ax = b$ 的三个解，且 4. 设 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$R(A) = 2$，已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 $Ax = b$ 的三个解，且
-   $$\eta_1 + \eta_2 = (2, 0, 1, 2)^T, \quad \eta_2 + \eta_3 = (1, 2, 0, 3)^T$$ + 
-   求 $Ax = b$ 的通解。+$$\eta_1 + \eta_2 = (2, 0, 1, 2)^T, \quad \eta_2 + \eta_3 = (1, 2, 0, 3)^T$$ 
 + 
 +求 $Ax = b$ 的通解。
  
 **挑战题** **挑战题**
 +
 5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^* \neq O$，$\xi_1, \xi_2$ 是 $Ax = b$ 的两个不同解。证明： 5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^* \neq O$，$\xi_1, \xi_2$ 是 $Ax = b$ 的两个不同解。证明：
-   (1) $R(A) = n-1$ + 
-   (2) $Ax = 0$ 的通解为 $x = k(\xi_1 - \xi_2)$+(1) $R(A) = n-1$ 
 + 
 +(2) $Ax = 0$ 的通解为 $x = k(\xi_1 - \xi_2)$
  
 6. 证明：方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是 $A^Ty = 0$ 的解都是 $b^Ty = 0$ 的解。 6. 证明：方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是 $A^Ty = 0$ 的解都是 $b^Ty = 0$ 的解。
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  • 最后更改: 2026/02/18 19:31
  • 由 张叶安