线性代数:特征值与特征向量

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线性代数:特征值与特征向量 [2026/02/19 15:51] – 创建 张叶安线性代数:特征值与特征向量 [2026/02/19 15:53] (当前版本) – [5.6 习题] 张叶安
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 **基础题** **基础题**
 +
 1. 求矩阵的特征值和特征向量： 1. 求矩阵的特征值和特征向量：
-   (a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ + 
-   (b) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$+(a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ 
 + 
 +(b) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$
  
 2. 判断下列矩阵是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 $P$： 2. 判断下列矩阵是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 $P$：
-   (a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ + 
-   (b) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$+(a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 
 + 
 +(b) $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
  
 **提高题** **提高题**
 +
 3. 设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且 3. 设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且
-   $$A\alpha_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_2 = 2\alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_3 = 2\alpha_2 + 3\alpha_3$$ + 
-   求矩阵 $B$ 使 $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)B$，并求 $A$ 的特征值。+$$A\alpha_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_2 = 2\alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_3 = 2\alpha_2 + 3\alpha_3$$ 
 + 
 +求矩阵 $B$ 使 $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)B$，并求 $A$ 的特征值。
  
 4. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$A^2 = E$，$R(A+E) = k$，求 $A$ 的相似标准形。 4. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$A^2 = E$，$R(A+E) = k$，求 $A$ 的相似标准形。
  
 **挑战题** **挑战题**
 +
 5. 证明：$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是对于 $A$ 的每个特征值 $\lambda_i$，$R(A - \lambda_i E) = n - k_i$，其中 $k_i$ 是 $\lambda_i$ 的代数重数。 5. 证明：$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是对于 $A$ 的每个特征值 $\lambda_i$，$R(A - \lambda_i E) = n - k_i$，其中 $k_i$ 是 $\lambda_i$ 的代数重数。
  
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  • 最后更改: 2026/02/19 15:51
  • 由 张叶安