深度学习:扩散模型:class1

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深度学习:扩散模型:class1 [2026/03/13 13:42] – [前向过程单步公式讲解] 张叶安深度学习:扩散模型:class1 [2026/04/01 13:15] (当前版本) – [前向过程单步公式讲解] 张叶安
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 +====== 显示图片 ======
 +
 <code> <code>
 import torch                              # 导入 PyTorch 库，用于张量操作 import torch                              # 导入 PyTorch 库，用于张量操作
行 46: 行 48:
  
 TensorFlow：(𝐻,𝑊,3) TensorFlow：(𝐻,𝑊,3)
 +
 +====== 对称处理 ======
 +
  
 为了让数据和高斯噪声处在同一个零中心对称空间里，要对像素值进行仿射变换： 为了让数据和高斯噪声处在同一个零中心对称空间里，要对像素值进行仿射变换：
行 54: 行 59:
  
 现在想它取值范围为[-1,1] 现在想它取值范围为[-1,1]
 +
 +变换形式为$y=ax+b$
 +
 +当$x=0$时，$y=-1$,当$x=1$时，$y=1$
 +
 +$y=2x-1$,$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$
  
 仿射变换矩阵为： 仿射变换矩阵为：
行 131: 行 142:
 可以看出图片的形状没有变 可以看出图片的形状没有变
  
 +====== 扩散过程 ======
  
 扩散过程是基于一个**方差调度表**构建的，这个调度表决定了在扩散过程的每一个时间步中加入噪声的强度。为此，我们定义如下几个量： 扩散过程是基于一个**方差调度表**构建的，这个调度表决定了在扩散过程的每一个时间步中加入噪声的强度。为此，我们定义如下几个量：
  
-  * `betas`：$\beta_t$ +  * betas：$\beta_t$ 
-  * `alphas`：$\alpha_t = 1 - \beta_t$ +  * alphas：$\alpha_t = 1 - \beta_t$ 
-  * `alphas_sqrt`：$\sqrt{\alpha_t}$ +  * alphas_sqrt：$\sqrt{\alpha_t}$ 
-  * `alphas_prod`：$\bar{\alpha}_t = \prod_{i=0}^{t}\alpha_i$ +  * alphas_prod：$\bar{\alpha}_t = \prod_{i=0}^{t}\alpha_i$ 
-  * `alphas_prod_sqrt`：$\sqrt{\bar{\alpha}_t}$+  * alphas_prod_sqrt：$\sqrt{\bar{\alpha}_t}$
  
  
行 144: 行 156:
  
  
-1. `betas`：$\beta_t$+1. betas：$\beta_t$
  
 它表示**第 $t$ 步加入噪声的强度**，也可以理解为该步的“噪声方差比例”。 它表示**第 $t$ 步加入噪声的强度**，也可以理解为该步的“噪声方差比例”。
行 158: 行 170:
  
  
-2. `alphas`：$\alpha_t = 1 - \beta_t$ +2. alphas：$\alpha_t = 1 - \beta_t$ 
  
 它表示**第 $t$ 步保留下来的原始信号比例**。 它表示**第 $t$ 步保留下来的原始信号比例**。
行 179: 行 191:
  
  
-3. `alphas_sqrt`：$\sqrt{\alpha_t}$+3. alphas_sqrt：$\sqrt{\alpha_t}$
  
 这个量是在实际加噪公式里直接使用的系数。 这个量是在实际加噪公式里直接使用的系数。
行 191: 行 203:
   * $x_{t-1}$ 是上一步图像   * $x_{t-1}$ 是上一步图像
   * $x_t$ 是当前这一步加噪后的图像   * $x_t$ 是当前这一步加噪后的图像
-  * $\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, I)$ 是高斯噪声+  * $\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, I)$ 是高斯噪声(符合[[概率论:随机变量及其分布#2.4.3 常见连续型分布|高斯分布]]的噪声)
  
 **直观理解：** **直观理解：**
行 197: 行 209:
 $\sqrt{\alpha_t}$ 是**上一步图像在当前步中的保留权重**。 $\sqrt{\alpha_t}$ 是**上一步图像在当前步中的保留权重**。
  
-之所以取平方根，是因为扩散模型里控制的是**方差**，而真正乘在样本上的系数是标准差，所以会出现平方根。+之所以取平方根，是因为扩散模型里控制的是[[概率论:数字特征#4.2 方差|方差]]，而真正乘在样本上的系数是标准差，所以会出现平方根。
  
 +注：变量乘以标准差，才能得到对应的方差。如X=>3X，方差是原来的9倍。
  
  
-4. `alphas_prod`：$\bar{\alpha}_t = \prod_{i=0}^{t}\alpha_i$+ 
 + 
 + 
 +4. alphas_prod：$\bar{\alpha}_t = \prod_{i=0}^{t}\alpha_i$
  
 它表示从第 $0$ 步到第 $t$ 步，**所有保留比例连乘之后的结果**。 它表示从第 $0$ 步到第 $t$ 步，**所有保留比例连乘之后的结果**。
行 218: 行 234:
  
  
-5. `alphas_prod_sqrt`：$\sqrt{\bar{\alpha}_t}$+5. alphas_prod_sqrt：$\sqrt{\bar{\alpha}_t}$
  
 这个量是从原图 $x_0$ 直接生成第 $t$ 步噪声图 $x_t$ 时的关键系数。 这个量是从原图 $x_0$ 直接生成第 $t$ 步噪声图 $x_t$ 时的关键系数。
行 559: 行 575:
  
  
-反向过程+====== 反向过程 ====== 
  
 反向过程 $p$ 的目的是：根据扩散链中的当前样本 $x_t$，去近似恢复前一步的样本 $x_{t-1}$。在实际情况下，这种近似 $p(x_{t-1}|x_t)$ 必须在不知道 $x_0$ 的前提下完成。 反向过程 $p$ 的目的是：根据扩散链中的当前样本 $x_t$，去近似恢复前一步的样本 $x_{t-1}$。在实际情况下，这种近似 $p(x_{t-1}|x_t)$ 必须在不知道 $x_0$ 的前提下完成。
行 689: 行 706:
  
 <code python> <code python>
-x_0_pred = (x_t - (1 - alphas_cumprod[t_step]).sqrt() * noise) / (alphas_cumprod_sqrt[t_step])+import torch                              # 导入 PyTorch 库，用于张量操作 
 +import torch.nn.functional as F           # 导入 PyTorch 的函数式 API 
 +import numpy as np                        # 导入 NumPy 库，用于数值计算 
 +import matplotlib as mpl                  # 导入 Matplotlib 库的主模块 
 +import matplotlib.pyplot as plt           # 导入 Matplotlib 的绘图模块 
 +import imageio.v2 as imageio              # 导入 imageio 库，用于读取图片文件
  
-plt.subplot(1,3,1) +mpl.rcParams['figure.figsize'] = (12, 8)  # 设置 Matplotlib 图表默认尺寸
-show(x_t) +
-plt.title('$x_t$ ($\ell_1$: {:.3f})'.format(F.l1_loss(x_t, img_))) +
-plt.axis('off')+
  
-plt.subplot(1,3,2) +# 读取图片，像素值归一化到[0,1]，转为 PyTorch 浮点张量 
-show(x_0_pred) +img = torch.FloatTensor(imageio.imread('imgs/hills_2.png') / 255) 
-plt.title('$x_0$ prediction ($\ell_1$: {:.3f})'.format(F.l1_loss(x_0_pred, img_))) + 
-plt.axis('off')+# 值域转换函数：将图像从 [0,1] 转换到 [-1,+1]（扩散模型标准输入值域） 
 +def input_T(input): 
 +    # [0,1] -> [-1,+1] 
 +    return 2 * input - 1 
 + 
 +# 值域转换函数：将图像从 [-1,+1] 转换到 [0,1]（用于显示） 
 +def output_T(input): 
 +    # [-1,+1] -> [0,1] 
 +    return (input + 1) / 2 
 + 
 +# 显示图像函数，自动转换值域并裁剪到 [0,1] 
 +def show(input): 
 +    plt.imshow(output_T(input).clip(0, 1)) 
 + 
 + 
 +# ========== 扩散模型超参数设置 ========== 
 +T = 100  # 时间步总数 
 + 
 +# 定义 beta 调度（线性调度） 
 +betas = torch.linspace(0.0001, 0.02, T)  # 从 0.0001 线性增加到 0.02 
 + 
 +# 计算 alpha 相关参数 
 +alphas = 1 - betas                       # alpha_t = 1 - beta_t 
 +alphas_cumprod = torch.cumprod(alphas, dim=0)  # 累积乘积：ᾱ_t = ∏(1-β_s) 
 +alphas_cumprod_sqrt = torch.sqrt(alphas_cumprod)  # √ᾱ_t 
 + 
 +# 设置前向跳转的时间步 
 +t_step = 50 
 + 
 + 
 +def forward_jump(t, condition_img, return_noise=False): 
 +    """ 
 +        forward jump: 0 -> t 
 +        直接跳转加噪：从初始时刻 0 直接加噪到时刻 t 
 +         
 +        根据扩散模型公式：x_t = √ᾱ_t * x_0 + √(1-ᾱ_t) * ε 
 +        其中 ε ~ N(0, I) 
 +    """ 
 +    assert t >= 0 
 + 
 +    mean = alphas_cumprod_sqrt[t] * condition_img 
 +    std = (1 - alphas_cumprod[t]).sqrt() 
 + 
 +    # 从正态分布采样 
 +    if not return_noise: 
 +        return mean + std * torch.randn_like(condition_img) 
 +    else: 
 +        noise = torch.randn_like(condition_img) 
 +        return mean + std * noise, noise 
 + 
 + 
 +# ========== 主程序 ========== 
 +if __name__ == "__main__": 
 +    # 将图像转换到 [-1, 1] 值域 
 +    img_ = input_T(img) 
 + 
 +    # 执行前向跳转加噪，获取加噪后的图像和噪声 
 +    x_t, noise = forward_jump(t_step, img_, return_noise=True) 
 + 
 +    # 根据 x_t 和噪声预测 x_0 
 +    # 由 x_t = √ᾱ_t * x_0 + √(1-ᾱ_t) * ε 可得： 
 +    # x_0 = (x_t - √(1-ᾱ_t) * ε) / √ᾱ_t 
 +    x_0_pred = (x_t - (1 - alphas_cumprod[t_step]).sqrt() * noise) / alphas_cumprod_sqrt[t_step] 
 + 
 +    # 可视化结果：x_t（加噪图像）、x_0 预测值、原始 x_0 
 +    plt.subplot(1, 3, 1) 
 +    show(x_t) 
 +    plt.title(r'$x_t$ ($\ell_1$: {:.3f})'.format(F.l1_loss(x_t, img_))) 
 +    plt.axis('off') 
 + 
 +    plt.subplot(1, 3, 2) 
 +    show(x_0_pred) 
 +    plt.title(r'$x_0$ prediction ($\ell_1$: {:.3f})'.format(F.l1_loss(x_0_pred, img_))) 
 +    plt.axis('off') 
 + 
 +    plt.subplot(1, 3, 3) 
 +    show(img_) 
 +    plt.title(r'$x_0$') 
 +    plt.axis('off') 
 + 
 +    plt.suptitle(f'x_0 Prediction from x_t (t={t_step})', y=0.98) 
 +    plt.tight_layout() 
 +    plt.show()
  
-plt.subplot(1,3,3) 
-show(img_) 
-plt.title('$x_0$') 
-plt.axis('off') 
 </code> </code>
 +
 +
 +{{.:pasted:20260313-134755.png}}
  
 这里的含义是： 这里的含义是：
行 766: 行 866:
 plt.title(r'$\mu_{t-1}$' + '  ($\ell_1$: {:.3f})'.format(F.l1_loss(mean_gt, img_))) plt.title(r'$\mu_{t-1}$' + '  ($\ell_1$: {:.3f})'.format(F.l1_loss(mean_gt, img_)))
 </code> </code>
 +
 +{{.:pasted:20260313-135602.png}}
  
 这三幅图分别表示： 这三幅图分别表示：
行 983: 行 1085:
  
 也就是说，它实现了扩散模型中的一次“去噪反推”。 也就是说，它实现了扩散模型中的一次“去噪反推”。
 +
 +
 +{{.:pasted:20260313-135843.png}}
 +
 +{{.:pasted:20260313-135917.png}}
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  • 由 张叶安