深度学习:图神经网络

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深度学习:图神经网络 [2026/03/02 20:29] – 创建 张叶安深度学习:图神经网络 [2026/03/02 22:51] (当前版本) – 张叶安
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 传统深度学习主要处理规则结构的数据： 传统深度学习主要处理规则结构的数据：
-- **图像**：规则的2D网格，可以使用CNN +  - **图像**：规则的2D网格，可以使用CNN 
-- **文本**：一维序列，可以使用RNN或Transformer +  - **文本**：一维序列，可以使用RNN或Transformer 
-- **表格**：独立的样本向量，可以使用全连接网络+  - **表格**：独立的样本向量，可以使用全连接网络
  
 然而，现实世界中大量数据具有**非欧几里得结构**： 然而，现实世界中大量数据具有**非欧几里得结构**：
-- **社交网络**：用户及其关系 +  - **社交网络**：用户及其关系 
-- **分子结构**：原子和化学键 +  - **分子结构**：原子和化学键 
-- **知识图谱**：实体和关系 +  - **知识图谱**：实体和关系 
-- **推荐系统**：用户-物品交互 +  - **推荐系统**：用户-物品交互 
-- **交通网络**：道路和交叉口+  - **交通网络**：道路和交叉口
  
 这些数据天然适合用**图（Graph）**表示，需要专门的图神经网络（Graph Neural Networks, GNN）来处理。 这些数据天然适合用**图（Graph）**表示，需要专门的图神经网络（Graph Neural Networks, GNN）来处理。
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 其中： 其中：
-- $V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$：节点集合，$|V| = n$ +  - $V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$：节点集合，$|V| = n$ 
-- $E \subseteq V \times V$：边集合，$|E| = m$ +  - $E \subseteq V \times V$：边集合，$|E| = m$ 
-- $A \in \{0, 1\}^{n \times n}$：邻接矩阵，$A_{ij} = 1$表示存在边$(v_i, v_j)$+  - $A \in \{0, 1\}^{n \times n}$：邻接矩阵，$A_{ij} = 1$表示存在边$(v_i, v_j)$
  
 **图的类型**： **图的类型**：
  
 1. **有向图/无向图**：边是否有方向 1. **有向图/无向图**：边是否有方向
 +
 2. **加权图/无权图**：边是否有权重 2. **加权图/无权图**：边是否有权重
 +
 3. **同构图/异构图**：节点和边是否只有一种类型 3. **同构图/异构图**：节点和边是否只有一种类型
 +
 4. **静态图/动态图**：图结构是否随时间变化 4. **静态图/动态图**：图结构是否随时间变化
 +
  
 **图的特征表示**： **图的特征表示**：
  
-- **节点特征**：$X \in \mathbb{R}^{n \times d}$，每个节点有$d$维特征 +  - **节点特征**：$X \in \mathbb{R}^{n \times d}$，每个节点有$d$维特征 
-- **边特征**：$E_{feat} \in \mathbb{R}^{m \times d_e}$，每条边有特征 +  - **边特征**：$E_{feat} \in \mathbb{R}^{m \times d_e}$，每条边有特征 
-- **图级别特征**：整个图的全局特征+  - **图级别特征**：整个图的全局特征
  
 ==== 1.2 图神经网络的挑战 ==== ==== 1.2 图神经网络的挑战 ====
行 49: 行 53:
 **与传统深度学习的差异**： **与传统深度学习的差异**：
  
-1. **不规则结构**： +  -  **不规则结构**： 
-   - 每个节点的邻居数量不同 +    - 每个节点的邻居数量不同 
-   - 没有固定的空间顺序 +    - 没有固定的空间顺序 
-   - 无法直接使用卷积或池化操作+    - 无法直接使用卷积或池化操作
  
-2. **置换不变性**： +  - **置换不变性**： 
-   - 图的节点没有固有顺序 +    - 图的节点没有固有顺序 
-   - 改变节点编号不应改变结果 +    - 改变节点编号不应改变结果 
-   - 需要满足$f(PAP^T, PX) = f(A, X)$，其中$P$是置换矩阵+    - 需要满足$f(PAP^T, PX) = f(A, X)$，其中$P$是置换矩阵
  
-3. **多尺度信息**： +  -  **多尺度信息**： 
-   - 节点级别的预测 +    - 节点级别的预测 
-   - 边级别的预测 +    - 边级别的预测 
-   - 图级别的预测+    - 图级别的预测
  
-4. **计算效率**： +  - **计算效率**： 
-   - 大规模图（百万甚至十亿节点） +    - 大规模图（百万甚至十亿节点） 
-   - 稀疏邻接矩阵的高效处理+    - 稀疏邻接矩阵的高效处理
  
 ==== 1.3 图卷积网络（GCN） ==== ==== 1.3 图卷积网络（GCN） ====
行 73: 行 77:
  
 CNN在图像上的成功源于： CNN在图像上的成功源于：
-- 局部连接：每个像素只与邻居交互 +  - 局部连接：每个像素只与邻居交互 
-- 权重共享：卷积核在所有位置共享 +  - 权重共享：卷积核在所有位置共享 
-- 多层结构：捕获多尺度特征+  - 多层结构：捕获多尺度特征
  
 将CNN思想扩展到图： 将CNN思想扩展到图：
-- 局部连接：每个节点聚合邻居信息 +  - 局部连接：每个节点聚合邻居信息 
-- 权重共享：所有节点使用相同的聚合函数 +  - 权重共享：所有节点使用相同的聚合函数 
-- 多层结构：扩大感受野，捕获高阶邻居信息+  - 多层结构：扩大感受野，捕获高阶邻居信息
  
 **1.3.2 频域图卷积** **1.3.2 频域图卷积**
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 归一化的拉普拉斯矩阵： 归一化的拉普拉斯矩阵：
 +
 $$L = I_n - D^{-1/2}AD^{-1/2}$$ $$L = I_n - D^{-1/2}AD^{-1/2}$$
  
行 104: 行 109:
  
 **计算复杂度问题**： **计算复杂度问题**：
-- 特征分解$O(n^3)$ +  - 特征分解$O(n^3)$ 
-- 与$U$相乘$O(n^2)$ +  - 与$U$相乘$O(n^2)$ 
-- 对于大规模图不可行+  - 对于大规模图不可行
  
 **1.3.3 简化：Kipf & Welling的GCN** **1.3.3 简化：Kipf & Welling的GCN**
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 其中： 其中：
-- $\tilde{A} = A + I_n$：加入自连接的邻接矩阵 +  - $\tilde{A} = A + I_n$：加入自连接的邻接矩阵 
-- $\tilde{D}_{ii} = \sum_j \tilde{A}_{ij}$：对应的度矩阵 +  - $\tilde{D}_{ii} = \sum_j \tilde{A}_{ij}$：对应的度矩阵 
-- $H^{(l)}$：第$l$层的节点特征 +  - $H^{(l)}$：第$l$层的节点特征 
-- $W^{(l)}$：可学习的权重矩阵 +  - $W^{(l)}$：可学习的权重矩阵 
-- $\sigma$：激活函数+  - $\sigma$：激活函数
  
 **归一化的直观理解**： **归一化的直观理解**：
  
 $\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$对邻接矩阵进行对称归一化： $\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$对邻接矩阵进行对称归一化：
-- 考虑邻居节点的度数，避免高度节点主导 +  - 考虑邻居节点的度数，避免高度节点主导 
-- 保持数值稳定性+  - 保持数值稳定性
  
 **GCN的传播规则可以写成**： **GCN的传播规则可以写成**：
行 136: 行 141:
  
 **特点**： **特点**：
-- 半监督学习：少量标签即可训练 +  - 半监督学习：少量标签即可训练 
-- 局部化：每个节点只聚合邻居信息 +  - 局部化：每个节点只聚合邻居信息 
-- 置换不变：矩阵运算保持置换等价性+  - 置换不变：矩阵运算保持置换等价性
  
 **局限**： **局限**：
-- 过度平滑（Over-smoothing）：层数增加时，节点表示趋于一致 +  - 过度平滑（Over-smoothing）：层数增加时，节点表示趋于一致 
-- 难以捕获远距离依赖 +  - 难以捕获远距离依赖 
-- 无法处理有向图和边特征+  - 无法处理有向图和边特征
  
 ==== 1.4 图注意力网络（GAT） ==== ==== 1.4 图注意力网络（GAT） ====
行 150: 行 155:
  
 GCN对所有邻居使用相同的权重，这在实际中可能不够灵活： GCN对所有邻居使用相同的权重，这在实际中可能不够灵活：
-- 不同邻居的重要性可能不同 +  - 不同邻居的重要性可能不同 
-- 需要显式建模节点间的关系强度+  - 需要显式建模节点间的关系强度
  
 图注意力网络引入**注意力机制**，让模型学习邻居的权重。 图注意力网络引入**注意力机制**，让模型学习邻居的权重。
行 162: 行 167:
  
 其中： 其中：
-- $W$：线性变换矩阵 +  - $W$：线性变换矩阵 
-- $a$：注意力参数向量 +  - $a$：注意力参数向量  
-- $||$：向量拼接 +  - $||$：向量拼接 
-- 只计算邻居节点$j \in \mathcal{N}(i)$的$e_{ij}$+  - 只计算邻居节点$j \in \mathcal{N}(i)$的$e_{ij}$
  
 **Softmax归一化**： **Softmax归一化**：
行 188: 行 193:
  
 1. **灵活性**：不同邻居有不同的权重 1. **灵活性**：不同邻居有不同的权重
 +
 2. **可解释性**：注意力权重可以可视化 2. **可解释性**：注意力权重可以可视化
 +
 3. **效率**：与GCN类似的计算复杂度 3. **效率**：与GCN类似的计算复杂度
 +
 4. **通用性**：可以处理有向图（只关注入边） 4. **通用性**：可以处理有向图（只关注入边）
  
行 197: 行 205:
  
 GCN和GAT是**直推式（Transductive）**的： GCN和GAT是**直推式（Transductive）**的：
-- 需要所有节点在训练时可见 +  - 需要所有节点在训练时可见 
-- 无法处理新加入的节点+  - 无法处理新加入的节点
  
 GraphSAGE（Sample and Aggregate）支持**归纳式（Inductive）**学习： GraphSAGE（Sample and Aggregate）支持**归纳式（Inductive）**学习：
-- 学习节点特征的聚合函数 +  - 学习节点特征的聚合函数 
-- 可以泛化到未见过的节点和图+  - 可以泛化到未见过的节点和图
  
 **1.5.2 GraphSAGE的核心思想** **1.5.2 GraphSAGE的核心思想**
  
 **采样（Sample）**： **采样（Sample）**：
-- 对每个节点，采样固定数量的邻居 +  - 对每个节点，采样固定数量的邻居 
-- 避免大图的全局计算 +  - 避免大图的全局计算 
-- 控制每批次的计算量+  - 控制每批次的计算量
  
 **聚合（Aggregate）**： **聚合（Aggregate）**：
-- 使用聚合函数融合邻居信息 +  - 使用聚合函数融合邻居信息 
-- 聚合函数必须对输入顺序不敏感（置换不变）+  - 聚合函数必须对输入顺序不敏感（置换不变）
  
 **1.5.3 聚合函数** **1.5.3 聚合函数**
行 247: 行 255:
 $$J = -\log(\sigma(z_i^T z_j)) - Q \cdot \mathbb{E}_{v_n \sim P_n} \log(\sigma(-z_i^T z_n))$$ $$J = -\log(\sigma(z_i^T z_j)) - Q \cdot \mathbb{E}_{v_n \sim P_n} \log(\sigma(-z_i^T z_n))$$
  
-- 第一项：附近节点（随机游走共现）应该有相似表示 +  - 第一项：附近节点（随机游走共现）应该有相似表示 
-- 第二项：负采样，远处节点应该有不同表示+  - 第二项：负采样，远处节点应该有不同表示
  
 ==== 1.6 图同构网络（GIN） ==== ==== 1.6 图同构网络（GIN） ====
行 255: 行 263:
  
 GNN的表达能力受限于其区分不同图结构的能力。研究发现： GNN的表达能力受限于其区分不同图结构的能力。研究发现：
-- GCN、GraphSAGE等无法区分某些非同构图 +  - GCN、GraphSAGE等无法区分某些非同构图 
-- 它们的表达能力上限是**Weisfeiler-Lehman（WL）图同构测试**的一阶形式+  - 它们的表达能力上限是**Weisfeiler-Lehman（WL）图同构测试**的一阶形式
  
 **1.6.2 Weisfeiler-Lehman测试** **1.6.2 Weisfeiler-Lehman测试**
行 263: 行 271:
  
 1. 初始时，每个节点有相同的标签（或特征） 1. 初始时，每个节点有相同的标签（或特征）
 +
 2. 每轮迭代：节点的新标签 = hash(原标签, 邻居标签多重集) 2. 每轮迭代：节点的新标签 = hash(原标签, 邻居标签多重集)
 +
 3. 若多轮后两个图的标签分布不同，则判定为非同构 3. 若多轮后两个图的标签分布不同，则判定为非同构
  
行 277: 行 287:
  
 关键设计： 关键设计：
-- 使用求和（sum）而非平均或最大池化 +  - 使用求和（sum）而非平均或最大池化 
-- 可学习的参数$\epsilon$调整自连接权重 +  - 可学习的参数$\epsilon$调整自连接权重 
-- MLP提供足够的非线性能力+  - MLP提供足够的非线性能力
  
 **为什么求和更强大**： **为什么求和更强大**：
  
 平均和最大池化会丢失邻居多重集的信息。例如： 平均和最大池化会丢失邻居多重集的信息。例如：
-- 邻居集合$\{1, 1, 1\}$和$\{1, 2, 0\}$的平均都是1 +  - 邻居集合$\{1, 1, 1\}$和$\{1, 2, 0\}$的平均都是1 
-- 但它们的和不同（3 vs 3），如果考虑更多维度可以区分+  - 但它们的和不同（3 vs 3），如果考虑更多维度可以区分
  
 ==== 1.7 图池化与图级别预测 ==== ==== 1.7 图池化与图级别预测 ====
行 346: 行 356:
  
 **ST-GCN**： **ST-GCN**：
-- 空间维度：GCN聚合邻居 +  - 空间维度：GCN聚合邻居 
-- 时间维度：1D卷积聚合时间序列+  - 时间维度：1D卷积聚合时间序列
  
 **DCRNN**： **DCRNN**：
-- 使用扩散卷积捕获空间依赖 +  - 使用扩散卷积捕获空间依赖 
-- 使用Seq2Seq建模时间序列+  - 使用Seq2Seq建模时间序列
  
 **1.8.2 异构图神经网络** **1.8.2 异构图神经网络**
行 358: 行 368:
  
 **HAN（Heterogeneous Graph Attention Network）**： **HAN（Heterogeneous Graph Attention Network）**：
-- 基于元路径（meta-path）定义邻居 +  - 基于元路径（meta-path）定义邻居 
-- 节点级和语义级的双重注意力+  - 节点级和语义级的双重注意力
  
 **RGCN（Relational GCN）**： **RGCN（Relational GCN）**：
-- 每种边类型有独立的权重矩阵 +  - 每种边类型有独立的权重矩阵 
-- 或使用基分解减少参数量+  - 或使用基分解减少参数量
  
 **1.8.3 大规模图训练** **1.8.3 大规模图训练**
  
 **邻居采样**： **邻居采样**：
-- Node-wise：GraphSAGE方式 +  - Node-wise：GraphSAGE方式 
-- Layer-wise：FastGCN，每层独立采样 +  - Layer-wise：FastGCN，每层独立采样 
-- Graph-wise：Cluster-GCN，基于图聚类+  - Graph-wise：Cluster-GCN，基于图聚类
  
 **采样效率**： **采样效率**：
-- 小批量训练，减少内存 +  - 小批量训练，减少内存 
-- 控制邻居数量，避免邻居爆炸+  - 控制邻居数量，避免邻居爆炸
  
 ===== 2. 例题分析 ===== ===== 2. 例题分析 =====
行 399: 行 409:
  
 逐元素计算： 逐元素计算：
-- $\hat{A}_{11} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.5$ +  - $\hat{A}_{11} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.5$ 
-- $\hat{A}_{12} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408$ +  - $\hat{A}_{12} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408$ 
-- $\hat{A}_{22} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1/3 \approx 0.333$ +  - $\hat{A}_{22} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1/3 \approx 0.333$ 
-- 其他类似计算+  - 其他类似计算
  
 $$\hat{A} \approx \begin{bmatrix} 0.5 & 0.408 & 0 \\ 0.408 & 0.333 & 0.408 \\ 0 & 0.408 & 0.5 \end{bmatrix}$$ $$\hat{A} \approx \begin{bmatrix} 0.5 & 0.408 & 0 \\ 0.408 & 0.333 & 0.408 \\ 0 & 0.408 & 0.5 \end{bmatrix}$$
行 438: 行 448:
  
 由于$W = I$： 由于$W = I$：
-- $Wh_i = [1, 0]$ +  - $Wh_i = [1, 0]$ 
-- $Wh_{j_1} = [0, 1]$ +  - $Wh_{j_1} = [0, 1]$ 
-- $Wh_{j_2} = [1, 1]$+  - $Wh_{j_2} = [1, 1]$
  
 **步骤2：拼接** **步骤2：拼接**
  
-- $[Wh_i || Wh_{j_1}] = [1, 0, 0, 1]$ +  - $[Wh_i || Wh_{j_1}] = [1, 0, 0, 1]$ 
-- $[Wh_i || Wh_{j_2}] = [1, 0, 1, 1]$+  - $[Wh_i || Wh_{j_2}] = [1, 0, 1, 1]$
  
 **步骤3：计算注意力分数** **步骤3：计算注意力分数**
行 466: 行 476:
  
 **结论**： **结论**：
-- $\alpha_{ij_1} \approx 0.269$ +  - $\alpha_{ij_1} \approx 0.269$ 
-- $\alpha_{ij_2} \approx 0.731$+  - $\alpha_{ij_2} \approx 0.731$
  
 节点$i$更关注邻居$j_2$，因为其特征与$i$有重叠（第一个维度都是1）。 节点$i$更关注邻居$j_2$，因为其特征与$i$有重叠（第一个维度都是1）。
行 507: 行 517:
  
 **结论**： **结论**：
-- 聚合后的邻居表示：$h_{\mathcal{N}(i)} = [2, 1]$ +  - 聚合后的邻居表示：$h_{\mathcal{N}(i)} = [2, 1]$ 
-- 更新后的节点表示：$h_i' = [3, 1.5]$+  - 更新后的节点表示：$h_i' = [3, 1.5]$
  
 有趣的是，在这个例子中，邻居的平均特征恰好等于节点自身的特征，导致信息融合后特征增强。 有趣的是，在这个例子中，邻居的平均特征恰好等于节点自身的特征，导致信息融合后特征增强。
行 548: 行 558:
 ==== 二、填空题 ==== ==== 二、填空题 ====
  
-6. 图神经网络处理的三种预测任务是________预测、________预测和________预测。+6. 图神经网络处理的三种预测任务是$\_\_\_\_\_$预测、$\_\_\_\_\_$预测和$\_\_\_\_\_$预测。
  
-7. GCN的全称是________，GAT的全称是________。+7. GCN的全称是$\_\_\_\_\_$，GAT的全称是$\_\_\_\_\_$。
  
-8. 在GCN中，$\tilde{A} = A + I$表示在邻接矩阵中添加了________。+8. 在GCN中，$\tilde{A} = A + I$表示在邻接矩阵中添加了$\_\_\_\_\_$。
  
-9. GraphSAGE的两个核心步骤是________和________。+9. GraphSAGE的两个核心步骤是$\_\_\_\_\_$和$\_\_\_\_\_$。
  
-10. WL测试的全称是________测试，用于检测图同构。+10. WL测试的全称是$\_\_\_\_\_$测试，用于检测图同构。
  
 ==== 三、计算题 ==== ==== 三、计算题 ====
行 606: 行 616:
 11. **解答：** 11. **解答：**
          
-    $\tilde{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$+$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
          
-    $\tilde{D} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$+$\tilde{D} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
          
-    $\tilde{D}^{-1/2} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$+$\tilde{D}^{-1/2} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$
          
-    $\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$+$\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$
          
-    $= \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$+$= \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$
          
-    $= \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}$+$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{bmatrix}$
  
 12. **解答：** 12. **解答：**
          
-    $\exp(1) = 2.718$，$\exp(2) = 7.389$，$\exp(3) = 20.086$+$\exp(1) = 2.718$，$\exp(2) = 7.389$，$\exp(3) = 20.086$
          
-    和 $= 2.718 + 7.389 + 20.086 = 30.193$+和 $= 2.718 + 7.389 + 20.086 = 30.193$
          
-    $\alpha_1 = 2.718 / 30.193 \approx 0.090$+$\alpha_1 = 2.718 / 30.193 \approx 0.090$
          
-    $\alpha_2 = 7.389 / 30.193 \approx 0.245$+$\alpha_2 = 7.389 / 30.193 \approx 0.245$
          
-    $\alpha_3 = 20.086 / 30.193 \approx 0.665$+$\alpha_3 = 20.086 / 30.193 \approx 0.665$
          
-    权重：$[0.090, 0.245, 0.665]$+权重：$[0.090, 0.245, 0.665]$
  
 13. **解答：** 13. **解答：**
          
-    邻居聚合：$\text{mean} = \frac{[2,1] + [0,3]}{2} = \frac{[2,4]}{2} = [1, 2]$+邻居聚合：$\text{mean} = \frac{[2,1] + [0,3]}{2} = \frac{[2,4]}{2} = [1, 2]$
          
-    拼接自身和邻居：$[1, 2, 1, 2]$+拼接自身和邻居：$[1, 2, 1, 2]$
          
-    聚合结果：$[1, 2, 1, 2]$+聚合结果：$[1, 2, 1, 2]$
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  • 最后更改: 2026/03/02 22:51
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