泛函分析:度量空间的基本概念

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泛函分析:度量空间的基本概念 [2026/02/21 15:49] – 创建 张叶安泛函分析:度量空间的基本概念 [2026/02/21 16:10] (当前版本) – [1.1.3 典型例子] 张叶安
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 ==== 1.1.1 引言 ==== ==== 1.1.1 引言 ====
  
-在数学分析中，我们研究实数集\\(\\mathbb{R}\\)上的极限、连续等概念，这些概念都依赖于实数之间的距离。例如，两个实数\\(x\\)和\\(y\\)之间的距离定义为\\(|x - y|\\)。在更高维的欧几里得空间\\(\\mathbb{R}^n\\)中，两点\\(x = (x_1, x_2, \\ldots, x_n)\\)和\\(y = (y_1, y_2, \\ldots, y_n)\\)之间的距离定义为：+在数学分析中，我们研究实数集$\mathbb{R}$上的极限、连续等概念，这些概念都依赖于实数之间的距离。例如，两个实数$x$和$y$之间的距离定义为$|x - y|$。在更高维的欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中，两点$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$和$y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$之间的距离定义为：
  
-$$d(x, y) = \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^2}$$+$$d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^2}$$
  
 这个距离满足以下三条基本性质： 这个距离满足以下三条基本性质：
-  - 非负性：\\(d(x, y) \\geq 0\\)，且\\(d(x, y) = 0\\)当且仅当\\(x = y\\) +  - 非负性：$d(x, y) \geq 0$，且$d(x, y) = 0$当且仅当$x = y$ 
-  - 对称性：\\(d(x, y) = d(y, x)\\) +  - 对称性：$d(x, y) = d(y, x)$ 
-  - 三角不等式：\\(d(x, z) \\leq d(x, y) + d(y, z)\\)+  - 三角不等式：$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$
  
 泛函分析的一个基本思想是将这些性质抽象出来，在更一般的集合上定义"距离"，从而建立统一的理论框架。这就是**度量空间**的概念。 泛函分析的一个基本思想是将这些性质抽象出来，在更一般的集合上定义"距离"，从而建立统一的理论框架。这就是**度量空间**的概念。
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 ==== 1.1.2 度量空间的定义 ==== ==== 1.1.2 度量空间的定义 ====
  
-**定义 1.1**（度量空间）设\\(X\\)是一个非空集合，\\(d: X \\times X \\to \\mathbb{R}\\)是一个映射。如果对于任意的\\(x, y, z \\in X\\)，满足以下三条公理：+**定义 1.1**（度量空间）设$X$是一个非空集合，$d: X \times X \to \mathbb{R}$是一个映射。如果对于任意的$x, y, z \in X$，满足以下三条公理：
  
-**(M1)** **非负性（正定性）**：\\(d(x, y) \\geq 0\\)，且\\(d(x, y) = 0\\)当且仅当\\(x = y\\)；+**(M1)** **非负性（正定性）**：$d(x, y) \geq 0$，且$d(x, y) = 0$当且仅当$x = y$；
  
-**(M2)** **对称性**：\\(d(x, y) = d(y, x)\\)；+**(M2)** **对称性**：$d(x, y) = d(y, x)$；
  
-**(M3)** **三角不等式**：\\(d(x, z) \\leq d(x, y) + d(y, z)\\)，+**(M3)** **三角不等式**：$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$，
  
-则称\\(d\\)为\\(X\\)上的一个**距离函数**（或**度量**），称\\((X, d)\\)为一个**度量空间**，在不致混淆的情况下，简称\\(X\\)为度量空间。+则称$d$为$X$上的一个**距离函数**（或**度量**），称$(X, d)$为一个**度量空间**，在不致混淆的情况下，简称$X$为度量空间。
  
 **注记**： **注记**：
   - 度量空间的定义只涉及集合和满足特定条件的实值函数，不涉及代数运算   - 度量空间的定义只涉及集合和满足特定条件的实值函数，不涉及代数运算
   - 同一个集合上可以定义不同的距离，形成不同的度量空间   - 同一个集合上可以定义不同的距离，形成不同的度量空间
-  - 距离\\(d(x, y)\\)可以理解为从点\\(x\\)到点\\(y\\)的"代价"或"长度"+  - 距离$d(x, y)$可以理解为从点$x$到点$y$的"代价"或"长度"
  
 ==== 1.1.3 典型例子 ==== ==== 1.1.3 典型例子 ====
  
-**例 1.1**（离散度量空间）设\\(X\\)是任一非空集合，定义：+**例 1.1**（离散度量空间）设$X$是任一非空集合，定义：
  
-$$d(x, y) = \\begin{cases} 0, & x = y \\\\ 1, & x \\neq y \\end{cases}$$+$$d(x, y) = \begin{cases} 0, & x = y \\ 1, & x \neq y \end{cases}$$
  
-验证\\(d\\)满足度量公理：+验证$d$满足度量公理：
   - (M1) 显然成立   - (M1) 显然成立
   - (M2) 由定义直接得到   - (M2) 由定义直接得到
-  - (M3) 若\\(x = z\\)，则\\(d(x, z) = 0 \\leq d(x, y) + d(y, z)\\)成立；若\\(x \\neq z\\)，则\\(x \\neq y\\)和\\(y \\neq z\\)至少有一个成立，故\\(d(x, y) + d(y, z) \\geq 1 = d(x, z)\\)+  - (M3) 若$x = z$，则$d(x, z) = 0 \leq d(x, y) + d(y, z)$成立；若$x \neq z$，则$x \neq y$和$y \neq z$至少有一个成立，故$d(x, y) + d(y, z) \geq 1 = d(x, z)$
  
-这个度量称为**离散度量**，\\((X, d)\\)称为**离散度量空间**。+这个度量称为**离散度量**，$(X, d)$称为**离散度量空间**。
  
-**例 1.2**（欧几里得空间\\(\\mathbb{R}^n\\)）在\\(\\mathbb{R}^n\\)上定义：+**例 1.2**（欧几里得空间$\mathbb{R}^n$）在$\mathbb{R}^n$上定义：
  
-$$d_2(x, y) = \\left(\\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^2\\right)^{1/2}$$+$$d_2(x, y) = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^2\right)^{1/2}$$
  
 这是标准的欧几里得距离。验证三角不等式需要用到**Cauchy-Schwarz不等式**。 这是标准的欧几里得距离。验证三角不等式需要用到**Cauchy-Schwarz不等式**。
  
-**Cauchy-Schwarz不等式**：对于\\(a_i, b_i \\in \\mathbb{R}\\)，有：+**Cauchy-Schwarz不等式**：对于$a_i, b_i \in \mathbb{R}$，有：
  
-$$\\left|\\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\\right| \\leq \\left(\\sum_{i=1}^{n}a_i^2\\right)^{1/2}\\left(\\sum_{i=1}^{n}b_i^2\\right)^{1/2}$$+$$\left|\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\right| \leq \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{1/2}$$
  
-**三角不等式的证明**：设\\(x, y, z \\in \\mathbb{R}^n\\)，记\\(a_i = x_i - y_i\\)，\\(b_i = y_i - z_i\\)，则\\(x_i - z_i = a_i + b_i\\)。+**三角不等式的证明**：设$x, y, z \in \mathbb{R}^n$，记$a_i = x_i - y_i$，$b_i = y_i - z_i$，则$x_i - z_i = a_i + b_i$。
  
-$$\\begin{align}d_2(x, z)^2 &= \\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i)^2 \\\\&= \\sum_{i=1}^{n}a_i^2 + 2\\sum_{i=1}^{n}a_i b_i + \\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \\\\&\\leq \\sum_{i=1}^{n}a_i^2 + 2\\left(\\sum_{i=1}^{n}a_i^2\\right)^{1/2}\\left(\\sum_{i=1}^{n}b_i^2\\right)^{1/2} + \\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \\\\&= \\left(\\left(\\sum_{i=1}^{n}a_i^2\\right)^{1/2} + \\left(\\sum_{i=1}^{n}b_i^2\\right)^{1/2}\\right)^2 \\\\&= (d_2(x, y) + d_2(y, z))^2\\end{align}$$+$$\begin{align}d_2(x, z)^2 &= \sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i)^2 \\&= \sum_{i=1}^{n}a_i^2 + 2\sum_{i=1}^{n}a_i b_i + \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \\&\leq \sum_{i=1}^{n}a_i^2 + 2\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{1/2} + \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \\&= \left(\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} + \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{1/2}\right)^2 \\&= (d_2(x, y) + d_2(y, z))^2\end{align}$$
  
 两边开方即得三角不等式。 两边开方即得三角不等式。
  
-**例 1.3**（\\(\\mathbb{R}^n\\)上的其他度量）在\\(\\mathbb{R}^n\\)上还可以定义其他度量：+**例 1.3**（$\mathbb{R}^n$上的其他度量）在$\mathbb{R}^n$上还可以定义其他度量：
  
-**(1)** **曼哈顿距离**（\\(l^1\\)度量）： +**(1)** **曼哈顿距离**（$l^1$度量）： 
-$$d_1(x, y) = \\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|$$+$$d_1(x, y) = \sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|$$
  
-**(2)** **最大范数距离**（\\(l^\\infty\\)度量）： +**(2)** **最大范数距离**（$l^\infty$度量）： 
-$$d_\\infty(x, y) = \\max_{1 \\leq i \\leq n}|x_i - y_i|$$+$$d_\infty(x, y) = \max_{1 \leq i \leq n}|x_i - y_i|$$
  
-**(3)** **\\(l^p\\)度量**（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）： +**(3)** **$l^p$度量**（$1 \leq p < \infty$）： 
-$$d_p(x, y) = \\left(\\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^p\\right)^{1/p}$$+$$d_p(x, y) = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^p\right)^{1/p}$$
  
-验证\\(d_p\\)满足三角不等式需要用到**Minkowski不等式**。+验证$d_p$满足三角不等式需要用到**Minkowski不等式**。
  
-**命题 1.1** 对于\\(1 \\leq p \\leq \\infty\\)，\\(d_p\\)都是\\(\\mathbb{R}^n\\)上的度量，且这些度量是等价的（即它们诱导相同的拓扑）。+**命题 1.1** 对于$1 \leq p \leq \infty$，$d_p$都是$\mathbb{R}^n$上的度量，且这些度量是等价的（即它们诱导相同的拓扑）。
  
-**例 1.4**（序列空间\\(l^p\\)）设\\(1 \\leq p < \\infty\\)，定义：+**例 1.4**（序列空间$l^p$）设$1 \leq p < \infty$，定义：
  
-$$l^p = \\left\\{x = (x_n)_{n=1}^\\infty : x_n \\in \\mathbb{C}, \\sum_{n=1}^\\infty|x_n|^p < \\infty\\right\\}$$+$$l^p = \left\{x = (x_n)_{n=1}^\infty : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p < \infty\right\}$$
  
-在\\(l^p\\)上定义距离：+在$l^p$上定义距离：
  
-$$d_p(x, y) = \\left(\\sum_{n=1}^\\infty|x_n - y_n|^p\\right)^{1/p}$$+$$d_p(x, y) = \left(\sum_{n=1}^\infty|x_n - y_n|^p\right)^{1/p}$$
  
-\\((l^p, d_p)\\)是度量空间。这个空间在泛函分析中极为重要。+$(l^p, d_p)$是度量空间。这个空间在泛函分析中极为重要。
  
 同样定义： 同样定义：
  
-$$l^\\infty = \\left\\{x = (x_n)_{n=1}^\\infty : x_n \\in \\mathbb{C}, \\sup_{n}|x_n| < \\infty\\right\\}$$+$$l^\infty = \left\{x = (x_n)_{n=1}^\infty : x_n \in \mathbb{C}, \sup_{n}|x_n| < \infty\right\}$$
  
-$$d_\\infty(x, y) = \\sup_{n}|x_n - y_n|$$+$$d_\infty(x, y) = \sup_{n}|x_n - y_n|$$
  
-**例 1.5**（连续函数空间\\(C[a,b]\\)）设\\([a, b]\\)是闭区间，定义：+**例 1.5**（连续函数空间$C[a,b]$）设$[a, b]$是闭区间，定义：
  
-$$C[a,b] = \\left\\{f: [a,b] \\to \\mathbb{R} : f \\text{ 在 } [a,b] \\text{ 上连续}\\right\\}$$+$$C[a,b] = \left\{f: [a,b] \to \mathbb{R} : f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续}\right\}$$
  
-在\\(C[a,b]\\)上可以定义多种度量：+在$C[a,b]$上可以定义多种度量：
  
 **(1)** **一致收敛度量**： **(1)** **一致收敛度量**：
-$$d_\\infty(f, g) = \\max_{t \\in [a,b]}|f(t) - g(t)|$$+$$d_\infty(f, g) = \max_{t \in [a,b]}|f(t) - g(t)|$$
  
-**(2)** **\\(L^p\\)度量**： +**(2)** **$L^p$度量**： 
-$$d_p(f, g) = \\left(\\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\\right)^{1/p}, \\quad 1 \\leq p < \\infty$$+$$d_p(f, g) = \left(\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\right)^{1/p}, \quad 1 \leq p < \infty$$
  
-**验证\\(d_\\infty\\)是度量**： +**验证$d_\infty$是度量**： 
-  - (M1) 显然\\(d_\\infty(f, g) \\geq 0\\)。若\\(d_\\infty(f, g) = 0\\)，则对所有\\(t \\in [a,b]\\)，\\(f(t) = g(t)\\)，即\\(f = g\\)+  - (M1) 显然$d_\infty(f, g) \geq 0$。若$d_\infty(f, g) = 0$，则对所有$t \in [a,b]$，$f(t) = g(t)$，即$f = g$
   - (M2) 对称性显然   - (M2) 对称性显然
-  - (M3) 对任意\\(t \\in [a,b]\\)： +  - (M3) 对任意$t \in [a,b]$：
-  $$|f(t) - h(t)| \\leq |f(t) - g(t)| + |g(t) - h(t)| \\leq d_\\infty(f,g) + d_\\infty(g,h)$$ +
-  取上确界即得三角不等式+
  
-**例 1.6**（函数空间\\(L^p[a,b]\\)）设\\(1 \\leq p < \\infty\\)，定义：+$$|f(t) - h(t)| \leq |f(t) - g(t)| + |g(t) - h(t)| \leq d_\infty(f,g) + d_\infty(g,h)$$
  
-$$L^p[a,b] = \\left\\{f: [a,b] \\to \\mathbb{R} : \\int_a^b|f(t)|^p dt < \\infty\\right\\}$$+取上确界即得三角不等式
  
-这里积分是Lebesgue积分。在\\(L^p[a,b]\\)上定义：+**例 1.6**（函数空间$L^p[a,b]$）设$1 \leq p < \infty$，定义：
  
-$$d_p(f, g) = \\left(\\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\\right)^{1/p}$$+$$L^p[a,b] = \left\{f: [a,b] \to \mathbb{R} : \int_a^b|f(t)|^p dt < \infty\right\}$$
  
-严格来说，\\(d_p(f, g) = 0\\)只意味着\\(f = g\\)几乎处处成立，因此需要将几乎处处相等的函数等同看待。+这里积分是Lebesgue积分。在$L^p[a,b]$上定义： 
 + 
 +$$d_p(f, g) = \left(\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\right)^{1/p}$$ 
 + 
 +严格来说，$d_p(f, g) = 0$只意味着$f = g$几乎处处成立，因此需要将几乎处处相等的函数等同看待。
  
 ===== 1.2 开集与闭集 ===== ===== 1.2 开集与闭集 =====
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 ==== 1.2.1 开球与闭球 ==== ==== 1.2.1 开球与闭球 ====
  
-**定义 1.2**（开球与闭球）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(x_0 \\in X\\)，\\(r > 0\\)。+**定义 1.2**（开球与闭球）设$(X, d)$是度量空间，$x_0 \in X$，$r > 0$。
  
 **(1)** 集合 **(1)** 集合
-$$B(x_0, r) = \\{x \\in X : d(x, x_0) < r\\}$$ +$$B(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) < r\}$$ 
-称为以\\(x_0\\)为中心、\\(r\\)为半径的**开球**（或**\\(r\\)-邻域**）。+称为以$x_0$为中心、$r$为半径的**开球**（或**$r$-邻域**）。
  
 **(2)** 集合 **(2)** 集合
-$$\\bar{B}(x_0, r) = \\{x \\in X : d(x, x_0) \\leq r\\}$$ +$$\bar{B}(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) \leq r\}$$ 
-称为以\\(x_0\\)为中心、\\(r\\)为半径的**闭球**。+称为以$x_0$为中心、$r$为半径的**闭球**。
  
 **(3)** 集合 **(3)** 集合
-$$S(x_0, r) = \\{x \\in X : d(x, x_0) = r\\}$$ +$$S(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) = r\}$$ 
-称为以\\(x_0\\)为中心、\\(r\\)为半径的**球面**。+称为以$x_0$为中心、$r$为半径的**球面**。
  
-**例 1.7** 在\\(\\mathbb{R}^2\\)中： +**例 1.7** 在$\mathbb{R}^2$中： 
-  - 欧几里得度量\\(d_2\\)对应的开球是圆形区域 +  - 欧几里得度量$d_2$对应的开球是圆形区域 
-  - 曼哈顿度量\\(d_1\\)对应的开球是菱形（旋转45度的正方形） +  - 曼哈顿度量$d_1$对应的开球是菱形（旋转45度的正方形） 
-  - 最大范数度量\\(d_\\infty\\)对应的开球是正方形+  - 最大范数度量$d_\infty$对应的开球是正方形
  
 ==== 1.2.2 开集与闭集的定义 ==== ==== 1.2.2 开集与闭集的定义 ====
  
-**定义 1.3**（开集）设\\((X, d)\\)是度量空间，子集\\(G \\subseteq X\\)称为**开集**，如果对每个\\(x \\in G\\)，存在\\(r > 0\\)，使得\\(B(x, r) \\subseteq G\\)。+**定义 1.3**（开集）设$(X, d)$是度量空间，子集$G \subseteq X$称为**开集**，如果对每个$x \in G$，存在$r > 0$，使得$B(x, r) \subseteq G$。
  
 换句话说，开集中的每一点都是该集合的"内点"，存在一个完全包含在该集合内的开球。 换句话说，开集中的每一点都是该集合的"内点"，存在一个完全包含在该集合内的开球。
  
-**定义 1.4**（闭集）子集\\(F \\subseteq X\\)称为**闭集**，如果它的补集\\(X \\setminus F\\)是开集。+**定义 1.4**（闭集）子集$F \subseteq X$称为**闭集**，如果它的补集$X \setminus F$是开集。
  
-**定理 1.1**（开集的基本性质）设\\((X, d)\\)是度量空间：+**定理 1.1**（开集的基本性质）设$(X, d)$是度量空间：
  
-**(1)** 空集\\(\\emptyset\\)和全集\\(X\\)都是开集；+**(1)** 空集$\emptyset$和全集$X$都是开集；
  
 **(2)** 任意多个开集的并集是开集； **(2)** 任意多个开集的并集是开集；
行 165: 行 167:
 **证明**： **证明**：
  
-**(1)** 空集是开集（ vacuously true）。对任意\\(x \\in X\\)，\\(B(x, 1) \\subseteq X\\)，故\\(X\\)是开集。+**(1)** 空集是开集（ vacuously true）。对任意$x \in X$，$B(x, 1) \subseteq X$，故$X$是开集。
  
-**(2)** 设\\(\\{G_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I}\\)是一族开集，令\\(G = \\bigcup_{\\alpha \\in I} G_\\alpha\\)。对任意\\(x \\in G\\)，存在\\(\\alpha_0\\)使得\\(x \\in G_{\\alpha_0}\\)。由于\\(G_{\\alpha_0}\\)是开集，存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq G_{\\alpha_0} \\subseteq G\\)。故\\(G\\)是开集。+**(2)** 设$\{G_\alpha\}_{\alpha \in I}$是一族开集，令$G = \bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha$。对任意$x \in G$，存在$\alpha_0$使得$x \in G_{\alpha_0}$。由于$G_{\alpha_0}$是开集，存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq G_{\alpha_0} \subseteq G$。故$G$是开集。
  
-**(3)** 设\\(G_1, G_2, \\ldots, G_n\\)是开集，令\\(G = \\bigcap_{i=1}^{n} G_i\\)。对任意\\(x \\in G\\)，则对每个\\(i = 1, 2, \\ldots, n\\)，有\\(x \\in G_i\\)。由于\\(G_i\\)是开集，存在\\(r_i > 0\\)使得\\(B(x, r_i) \\subseteq G_i\\)。取\\(r = \\min\\{r_1, r_2, \\ldots, r_n\\} > 0\\)，则\\(B(x, r) \\subseteq B(x, r_i) \\subseteq G_i\\)对所有\\(i\\)成立，故\\(B(x, r) \\subseteq G\\)。因此\\(G\\)是开集。\\(\\square\\)+**(3)** 设$G_1, G_2, \ldots, G_n$是开集，令$G = \bigcap_{i=1}^{n} G_i$。对任意$x \in G$，则对每个$i = 1, 2, \ldots, n$，有$x \in G_i$。由于$G_i$是开集，存在$r_i > 0$使得$B(x, r_i) \subseteq G_i$。取$r = \min\{r_1, r_2, \ldots, r_n\} > 0$，则$B(x, r) \subseteq B(x, r_i) \subseteq G_i$对所有$i$成立，故$B(x, r) \subseteq G$。因此$G$是开集。$\square$
  
-**注记**：无限多个开集的交集不一定是开集。例如，在\\(\\mathbb{R}\\)中，\\(\\bigcap_{n=1}^{\\infty}(-1/n, 1/n) = \\{0\\}\\)不是开集。+**注记**：无限多个开集的交集不一定是开集。例如，在$\mathbb{R}$中，$\bigcap_{n=1}^{\infty}(-1/n, 1/n) = \{0\}$不是开集。
  
-**定理 1.2**（闭集的基本性质）设\\((X, d)\\)是度量空间：+**定理 1.2**（闭集的基本性质）设$(X, d)$是度量空间：
  
-**(1)** 空集\\(\\emptyset\\)和全集\\(X\\)都是闭集；+**(1)** 空集$\emptyset$和全集$X$都是闭集；
  
 **(2)** 任意多个闭集的交集是闭集； **(2)** 任意多个闭集的交集是闭集；
行 181: 行 183:
 **(3)** 有限多个闭集的并集是闭集。 **(3)** 有限多个闭集的并集是闭集。
  
-**证明**：由de Morgan律和开集的性质直接得到。\\(\\square\\)+**证明**：由de Morgan律和开集的性质直接得到。$\square$
  
 **定理 1.3** 开球是开集，闭球是闭集。 **定理 1.3** 开球是开集，闭球是闭集。
  
-**证明**：设\\(B(x_0, r)\\)是开球。对任意\\(x \\in B(x_0, r)\\)，有\\(d(x, x_0) < r\\)。令\\(\\delta = r - d(x, x_0) > 0\\)。对任意\\(y \\in B(x, \\delta)\\)，由三角不等式：+**证明**：设$B(x_0, r)$是开球。对任意$x \in B(x_0, r)$，有$d(x, x_0) < r$。令$\delta = r - d(x, x_0) > 0$。对任意$y \in B(x, \delta)$，由三角不等式：
  
-$$d(y, x_0) \\leq d(y, x) + d(x, x_0) < \\delta + d(x, x_0) = r$$+$$d(y, x_0) \leq d(y, x) + d(x, x_0) < \delta + d(x, x_0) = r$$
  
-故\\(B(x, \\delta) \\subseteq B(x_0, r)\\)，\\(B(x_0, r)\\)是开集。+故$B(x, \delta) \subseteq B(x_0, r)$，$B(x_0, r)$是开集。
  
-对于闭球，设\\(F = \\{x : d(x, x_0) > r\\}\\)为\\(\\bar{B}(x_0, r)\\)的补集。对任意\\(x \\in F\\)，\\(d(x, x_0) > r\\)，令\\(\\delta = d(x, x_0) - r > 0\\)。对任意\\(y \\in B(x, \\delta)\\)：+对于闭球，设$F = \{x : d(x, x_0) > r\}$为$\bar{B}(x_0, r)$的补集。对任意$x \in F$，$d(x, x_0) > r$，令$\delta = d(x, x_0) - r > 0$。对任意$y \in B(x, \delta)$：
  
-$$d(x, x_0) \\leq d(x, y) + d(y, x_0) < \\delta + d(y, x_0)$$+$$d(x, x_0) \leq d(x, y) + d(y, x_0) < \delta + d(y, x_0)$$
  
-故\\(d(y, x_0) > d(x, x_0) - \\delta = r\\)，即\\(y \\in F\\)。因此\\(F\\)是开集，\\(\\bar{B}(x_0, r)\\)是闭集。\\(\\square\\)+故$d(y, x_0) > d(x, x_0) - \delta = r$，即$y \in F$。因此$F$是开集，$\bar{B}(x_0, r)$是闭集。$\square$
  
 ===== 1.3 邻域与极限 ===== ===== 1.3 邻域与极限 =====
行 201: 行 203:
 ==== 1.3.1 邻域的定义 ==== ==== 1.3.1 邻域的定义 ====
  
-**定义 1.5**（邻域）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(x \\in X\\)。包含\\(x\\)的任一开集称为\\(x\\)的一个**邻域**。+**定义 1.5**（邻域）设$(X, d)$是度量空间，$x \in X$。包含$x$的任一开集称为$x$的一个**邻域**。
  
-特别地，开球\\(B(x, r)\\)（其中\\(r > 0\\)）称为\\(x\\)的一个**球形邻域**或**\\(r\\)-邻域**。+特别地，开球$B(x, r)$（其中$r > 0$）称为$x$的一个**球形邻域**或**$r$-邻域**。
  
 **注记**： **注记**：
-  - 邻域的概念比开球更一般，任何包含\\(x\\)的开集都是\\(x\\)的邻域 +  - 邻域的概念比开球更一般，任何包含$x$的开集都是$x$的邻域 
-  - 若\\(U\\)是\\(x\\)的邻域，则存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq U\\)+  - 若$U$是$x$的邻域，则存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq U$
  
 ==== 1.3.2 点列的极限 ==== ==== 1.3.2 点列的极限 ====
  
-**定义 1.6**（点列的极限）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(\\{x_n\\}_{n=1}^\\infty\\)是\\(X\\)中的点列，\\(x_0 \\in X\\)。如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在正整数\\(N\\)，使得当\\(n \\geq N\\)时，有：+**定义 1.6**（点列的极限）设$(X, d)$是度量空间，$\{x_n\}_{n=1}^\infty$是$X$中的点列，$x_0 \in X$。如果对任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n \geq N$时，有：
  
-$$d(x_n, x_0) < \\epsilon$$+$$d(x_n, x_0) < \epsilon$$
  
-则称点列\\(\\{x_n\\}\\)**收敛**于\\(x_0\\)，\\(x_0\\)称为\\(\\{x_n\\}\\)的**极限**，记作：+则称点列$\{x_n\}$**收敛**于$x_0$，$x_0$称为$\{x_n\}$的**极限**，记作：
  
-$$\\lim_{n \\to \\infty} x_n = x_0 \\quad \\text{或} \\quad x_n \\to x_0 \\, (n \\to \\infty)$$+$$\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \quad \text{或} \quad x_n \to x_0 \, (n \to \infty)$$
  
-等价地，\\(x_n \\to x_0\\)当且仅当\\(\\lim_{n \\to \\infty} d(x_n, x_0) = 0\\)。+等价地，$x_n \to x_0$当且仅当$\lim_{n \to \infty} d(x_n, x_0) = 0$。
  
 **定理 1.4**（极限的唯一性）在度量空间中，收敛点列的极限是唯一的。 **定理 1.4**（极限的唯一性）在度量空间中，收敛点列的极限是唯一的。
  
-**证明**：设\\(\\{x_n\\}\\)是度量空间\\((X, d)\\)中的点列，且\\(x_n \\to x\\)，\\(x_n \\to y\\)。则对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N_1, N_2\\)使得：+**证明**：设$\{x_n\}$是度量空间$(X, d)$中的点列，且$x_n \to x$，$x_n \to y$。则对任意$\epsilon > 0$，存在$N_1, N_2$使得：
  
-  - 当\\(n \\geq N_1\\)时，\\(d(x_n, x) < \\epsilon/2\\) +  - 当$n \geq N_1$时，$d(x_n, x) < \epsilon/2$ 
-  - 当\\(n \\geq N_2\\)时，\\(d(x_n, y) < \\epsilon/2\\)+  - 当$n \geq N_2$时，$d(x_n, y) < \epsilon/2$
  
-取\\(N = \\max\\{N_1, N_2\\}\\)，当\\(n \\geq N\\)时：+取$N = \max\{N_1, N_2\}$，当$n \geq N$时：
  
-$$d(x, y) \\leq d(x, x_n) + d(x_n, y) < \\frac{\\epsilon}{2} + \\frac{\\epsilon}{2} = \\epsilon$$+$$d(x, y) \leq d(x, x_n) + d(x_n, y) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
  
-由于\\(\\epsilon > 0\\)是任意的，故\\(d(x, y) = 0\\)，即\\(x = y\\)。\\(\\square\\)+由于$\epsilon > 0$是任意的，故$d(x, y) = 0$，即$x = y$。$\square$
  
-**定理 1.5**（极限的\\(\\epsilon-N\\)刻画）设\\(F \\subseteq X\\)，则\\(F\\)是闭集当且仅当：若\\(\\{x_n\\} \\subseteq F\\)且\\(x_n \\to x\\)，则\\(x \\in F\\)。+**定理 1.5**（极限的$\epsilon-N$刻画）设$F \subseteq X$，则$F$是闭集当且仅当：若$\{x_n\} \subseteq F$且$x_n \to x$，则$x \in F$。
  
 **证明**： **证明**：
  
-（\\(\\Rightarrow\\)）设\\(F\\)是闭集，\\(\\{x_n\\} \\subseteq F\\)，\\(x_n \\to x\\)。假设\\(x \\notin F\\)，则\\(x \\in X \\setminus F\\)。由于\\(X \\setminus F\\)是开集，存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq X \\setminus F\\)。但由于\\(x_n \\to x\\)，存在\\(N\\)使得当\\(n \\geq N\\)时\\(d(x_n, x) < r\\)，即\\(x_n \\in B(x, r) \\subseteq X \\setminus F\\)，与\\(x_n \\in F\\)矛盾。+（$\Rightarrow$）设$F$是闭集，$\{x_n\} \subseteq F$，$x_n \to x$。假设$x \notin F$，则$x \in X \setminus F$。由于$X \setminus F$是开集，存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq X \setminus F$。但由于$x_n \to x$，存在$N$使得当$n \geq N$时$d(x_n, x) < r$，即$x_n \in B(x, r) \subseteq X \setminus F$，与$x_n \in F$矛盾。
  
-（\\(\\Leftarrow\\)）设\\(F\\)满足条件，证明\\(X \\setminus F\\)是开集。对任意\\(x \\in X \\setminus F\\)，若对任意\\(n\\)，\\(B(x, 1/n) \\cap F \\neq \\emptyset\\)，则可取\\(x_n \\in B(x, 1/n) \\cap F\\)。于是\\(d(x_n, x) < 1/n \\to 0\\)，即\\(x_n \\to x\\)。由条件\\(x \\in F\\)，矛盾。故存在\\(n_0\\)使得\\(B(x, 1/n_0) \\cap F = \\emptyset\\)，即\\(B(x, 1/n_0) \\subseteq X \\setminus F\\)。因此\\(X \\setminus F\\)是开集，\\(F\\)是闭集。\\(\\square\\)+（$\Leftarrow$）设$F$满足条件，证明$X \setminus F$是开集。对任意$x \in X \setminus F$，若对任意$n$，$B(x, 1/n) \cap F \neq \emptyset$，则可取$x_n \in B(x, 1/n) \cap F$。于是$d(x_n, x) < 1/n \to 0$，即$x_n \to x$。由条件$x \in F$，矛盾。故存在$n_0$使得$B(x, 1/n_0) \cap F = \emptyset$，即$B(x, 1/n_0) \subseteq X \setminus F$。因此$X \setminus F$是开集，$F$是闭集。$\square$
  
-**定义 1.7**（闭包）设\\(A \\subseteq X\\)，\\(A\\)的**闭包**定义为：+**定义 1.7**（闭包）设$A \subseteq X$，$A$的**闭包**定义为：
  
-$$\\bar{A} = \\bigcap\\{F : F \\supseteq A, F \\text{ 是闭集}\\}$$+$$\bar{A} = \bigcap\{F : F \supseteq A, F \text{ 是闭集}\}$$
  
-等价地，\\(\\bar{A} = \\{x \\in X : \\forall r > 0, B(x, r) \\cap A \\neq \\emptyset\\}\\)。+等价地，$\bar{A} = \{x \in X : \forall r > 0, B(x, r) \cap A \neq \emptyset\}$。
  
-**定理 1.6** \\(x \\in \\bar{A}\\)当且仅当存在\\(\\{x_n\\} \\subseteq A\\)使得\\(x_n \\to x\\)。+**定理 1.6** $x \in \bar{A}$当且仅当存在$\{x_n\} \subseteq A$使得$x_n \to x$。
  
 ===== 1.4 拓扑的比较 ===== ===== 1.4 拓扑的比较 =====
行 254: 行 256:
 ==== 1.4.1 等价度量 ==== ==== 1.4.1 等价度量 ====
  
-**定义 1.8**（等价度量）设\\(d_1\\)和\\(d_2\\)是集合\\(X\\)上的两个度量。如果它们诱导相同的开集族（即相同的拓扑），则称\\(d_1\\)和\\(d_2\\)**等价**。+**定义 1.8**（等价度量）设$d_1$和$d_2$是集合$X$上的两个度量。如果它们诱导相同的开集族（即相同的拓扑），则称$d_1$和$d_2$**等价**。
  
-**定理 1.7**（等价度量的判定）\\(d_1\\)和\\(d_2\\)等价当且仅当：对任意\\(x \\in X\\)和\\(r > 0\\)，存在\\(r_1, r_2 > 0\\)使得：+**定理 1.7**（等价度量的判定）$d_1$和$d_2$等价当且仅当：对任意$x \in X$和$r > 0$，存在$r_1, r_2 > 0$使得：
  
-$$B_{d_1}(x, r_1) \\subseteq B_{d_2}(x, r), \\quad B_{d_2}(x, r_2) \\subseteq B_{d_1}(x, r)$$+$$B_{d_1}(x, r_1) \subseteq B_{d_2}(x, r), \quad B_{d_2}(x, r_2) \subseteq B_{d_1}(x, r)$$
  
-**定理 1.8** 在\\(\\mathbb{R}^n\\)上，\\(d_p\\)度量（\\(1 \\leq p \\leq \\infty\\)）都是等价的。+**定理 1.8** 在$\mathbb{R}^n$上，$d_p$度量（$1 \leq p \leq \infty$）都是等价的。
  
-**证明**：只需证明对任意\\(p, q \\in [1, \\infty]\\)，\\(d_p\\)与\\(d_q\\)等价。不妨设\\(1 \\leq p < q \\leq \\infty\\)。+**证明**：只需证明对任意$p, q \in [1, \infty]$，$d_p$与$d_q$等价。不妨设$1 \leq p < q \leq \infty$。
  
-对于\\(x \\in \\mathbb{R}^n\\)：+对于$x \in \mathbb{R}^n$：
  
-$$\\|x\\|_\\infty \\leq \\|x\\|_p \\leq n^{1/p} \\|x\\|_\\infty$$+$$\|x\|_\infty \leq \|x\|_p \leq n^{1/p} \|x\|_\infty$$
  
-$$\\|x\\|_q \\leq \\|x\\|_p \\leq n^{1/p - 1/q} \\|x\\|_q \\quad (p < q < \\infty)$$+$$\|x\|_q \leq \|x\|_p \leq n^{1/p - 1/q} \|x\|_q \quad (p < q < \infty)$$
  
-这些不等式表明不同\\(p\\)范数诱导的度量在\\(\\mathbb{R}^n\\)上是等价的。\\(\\square\\)+这些不等式表明不同$p$范数诱导的度量在$\mathbb{R}^n$上是等价的。$\square$
  
 ==== 1.4.2 子空间拓扑 ==== ==== 1.4.2 子空间拓扑 ====
  
-**定义 1.9**（子空间）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(Y \\subseteq X\\)是非空子集。定义\\(d_Y: Y \\times Y \\to \\mathbb{R}\\)为：+**定义 1.9**（子空间）设$(X, d)$是度量空间，$Y \subseteq X$是非空子集。定义$d_Y: Y \times Y \to \mathbb{R}$为：
  
-$$d_Y(x, y) = d(x, y), \\quad \\forall x, y \\in Y$$+$$d_Y(x, y) = d(x, y), \quad \forall x, y \in Y$$
  
-则\\(d_Y\\)是\\(Y\\)上的度量，\\((Y, d_Y)\\)称为\\(X\\)的**度量子空间**（简称**子空间**）。+则$d_Y$是$Y$上的度量，$(Y, d_Y)$称为$X$的**度量子空间**（简称**子空间**）。
  
-**定理 1.9** 设\\(Y\\)是\\(X\\)的子空间，\\(G \\subseteq Y\\)。则\\(G\\)是\\(Y\\)中的开集当且仅当存在\\(X\\)中的开集\\(U\\)使得\\(G = U \\cap Y\\)。+**定理 1.9** 设$Y$是$X$的子空间，$G \subseteq Y$。则$G$是$Y$中的开集当且仅当存在$X$中的开集$U$使得$G = U \cap Y$。
  
 ===== 1.5 稠密性与可分性 ===== ===== 1.5 稠密性与可分性 =====
  
-**定义 1.10**（稠密集）设\\(A, B \\subseteq X\\)。如果\\(\\bar{A} \\supseteq B\\)，则称\\(A\\)在\\(B\\)中**稠密**。特别地，如果\\(\\bar{A} = X\\)，称\\(A\\)在\\(X\\)中稠密。+**定义 1.10**（稠密集）设$A, B \subseteq X$。如果$\bar{A} \supseteq B$，则称$A$在$B$中**稠密**。特别地，如果$\bar{A} = X$，称$A$在$X$中稠密。
  
-**定义 1.11**（可分空间）度量空间\\(X\\)称为**可分的**，如果存在可数稠密子集。+**定义 1.11**（可分空间）度量空间$X$称为**可分的**，如果存在可数稠密子集。
  
-**定理 1.10** \\((\\mathbb{R}^n, d_2)\\)是可分空间。+**定理 1.10** $(\mathbb{R}^n, d_2)$是可分空间。
  
-**证明**：\\(\\mathbb{Q}^n\\)（有理点集）是\\(\\mathbb{R}^n\\)的可数稠密子集。\\(\\square\\)+**证明**：$\mathbb{Q}^n$（有理点集）是$\mathbb{R}^n$的可数稠密子集。$\square$
  
-**定理 1.11** \\(C[a,b]\\)（赋予一致收敛度量）是可分空间。+**定理 1.11** $C[a,b]$（赋予一致收敛度量）是可分空间。
  
-**证明**：由Weierstrass逼近定理，多项式在\\(C[a,b]\\)中稠密。而有理系数多项式是可数的且在\\(C[a,b]\\)中稠密。\\(\\square\\)+**证明**：由Weierstrass逼近定理，多项式在$C[a,b]$中稠密。而有理系数多项式是可数的且在$C[a,b]$中稠密。$\square$
  
 ===== 1.6 习题 ===== ===== 1.6 习题 =====
  
-**习题 1.1** 证明\\(l^\\infty\\)是度量空间，并验证\\(d_\\infty\\)满足度量公理。+**习题 1.1** 证明$l^\infty$是度量空间，并验证$d_\infty$满足度量公理。
  
-**习题 1.2** 在\\(\\mathbb{R}\\)上定义\\(d(x, y) = |\\arctan x - \\arctan y|\\)。证明\\(d\\)是度量，且与通常度量\\(d_1(x,y) = |x-y|\\)等价。+**习题 1.2** 在$\mathbb{R}$上定义$d(x, y) = |\arctan x - \arctan y|$。证明$d$是度量，且与通常度量$d_1(x,y) = |x-y|$等价。
  
-**习题 1.3** 设\\((X, d)\\)是度量空间，定义： +**习题 1.3** 设$(X, d)$是度量空间，定义： 
-$$d'(x, y) = \\min\\{d(x, y), 1\\}$$ +$$d'(x, y) = \min\{d(x, y), 1\}$$ 
-证明\\(d'\\)是度量，且与\\(d\\)诱导相同的拓扑。+证明$d'$是度量，且与$d$诱导相同的拓扑。
  
 **习题 1.4** 证明离散度量空间中的每个子集既是开集又是闭集。 **习题 1.4** 证明离散度量空间中的每个子集既是开集又是闭集。
  
-**习题 1.5** 设\\(X = C[0,1]\\)，\\(d(f,g) = \\int_0^1|f(t) - g(t)|dt\\)。验证\\(d\\)是度量。+**习题 1.5** 设$X = C[0,1]$，$d(f,g) = \int_0^1|f(t) - g(t)|dt$。验证$d$是度量。
  
 **习题 1.6** 证明：在度量空间中，单点集是闭集。 **习题 1.6** 证明：在度量空间中，单点集是闭集。
  
-**习题 1.7** 设\\(A, B\\)是度量空间\\(X\\)的子集。证明： +**习题 1.7** 设$A, B$是度量空间$X$的子集。证明： 
-  - (a) \\(\\overline{A \\cup B} = \\bar{A} \\cup \\bar{B}\\) +  - (a) $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ 
-  - (b) \\(\\overline{A \\cap B} \\subseteq \\bar{A} \\cap \\bar{B}\\)，举例说明等号一般不成立+  - (b) $\overline{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cap \bar{B}$，举例说明等号一般不成立
  
-**习题 1.8** 证明\\(l^p\\)（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）是可分空间。+**习题 1.8** 证明$l^p$（$1 \leq p < \infty$）是可分空间。
  
-**习题 1.9** 设\\(\\{x_n\\}\\)是度量空间\\(X\\)中的点列，且当\\(m \\neq n\\)时\\(d(x_m, x_n) = 1\\)。证明\\(\\{x_n\\}\\)没有收敛子列。+**习题 1.9** 设$\{x_n\}$是度量空间$X$中的点列，且当$m \neq n$时$d(x_m, x_n) = 1$。证明$\{x_n\}$没有收敛子列。
  
-**习题 1.10** 证明：度量空间\\(X\\)是离散的（具有离散度量诱导的拓扑）当且仅当\\(X\\)中每个单点集都是开集。+**习题 1.10** 证明：度量空间$X$是离散的（具有离散度量诱导的拓扑）当且仅当$X$中每个单点集都是开集。
  
 ===== 1.7 补充阅读 ===== ===== 1.7 补充阅读 =====
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