数学分析:1_型未定式

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数学分析:1_型未定式 [2026/07/20 13:31] – 创建 张叶安数学分析:1_型未定式 [2026/07/20 13:34] (当前版本) – [十、一句话总结] 张叶安
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 | 形式 | 例子 | 结果 | 是否确定？ | | 形式 | 例子 | 结果 | 是否确定？ |
-| :--- | :--- | :--- | :--- | 
 | $1^2$ | 常数 | 1 | 确定 | | $1^2$ | 常数 | 1 | 确定 |
 | $1^{100}$ | 常数 | 1 | 确定 | | $1^{100}$ | 常数 | 1 | 确定 |
行 21: 行 20:
 | $(1-\frac{1}{n})^n$ | $n \to \infty$ | **$1/e$** | **未定** | | $(1-\frac{1}{n})^n$ | $n \to \infty$ | **$1/e$** | **未定** |
  
-> 关键区别：\ +> 关键区别： 
-> - 常数 $1^\infty = 1$（确定）\ +> 常数 $1^\infty = 1$（确定） 
-> - 极限 $1^\infty$（底数趋向1，指数趋向∞）= **未定式**（结果不确定）+> 极限 $1^\infty$（底数趋向1，指数趋向∞）= **未定式**（结果不确定）
  
 ===== 三、核心公式（两种等价形式） ===== ===== 三、核心公式（两种等价形式） =====
行 58: 行 57:
  
 当 $x \to x_0$ 时： 当 $x \to x_0$ 时：
-- $(1 + \alpha)^{1/\alpha} \to e$（重要极限） +  - $(1 + \alpha)^{1/\alpha} \to e$（重要极限） 
-- 指数部分 $\alpha \cdot v = (u - 1) \cdot v \to L$（某个极限值）+  - 指数部分 $\alpha \cdot v = (u - 1) \cdot v \to L$（某个极限值）
  
 所以： 所以：
行 141: 行 140:
 </code> </code>
  
-===== 七、常见等价无穷小（配合公式使用）===== 
- 
-当 $x \to 0$ 时： 
- 
-| 表达式 | 等价无穷小 | 
-| :--- | :--- | 
-| $\ln(1+x)$ | $x$ | 
-| $e^x - 1$ | $x$ | 
-| $\sin x$ | $x$ | 
-| $\tan x$ | $x$ | 
-| $1 - \cos x$ | $\frac{x^2}{2}$ | 
-| $\arcsin x$ | $x$ | 
-| $\arctan x$ | $x$ | 
- 
-> 在 1^∞ 型中，最常用的是 $\ln(1+x) \sim x$（即 $\ln u \sim u-1$ 当 $u \to 1$） 
  
 ===== 八、易错点提醒 ===== ===== 八、易错点提醒 =====
行 171: 行 155:
  
 | 未定式 | 处理方法 | | 未定式 | 处理方法 |
-| :--- | :--- | 
 | $\frac{0}{0}$ | 洛必达法则、等价无穷小、泰勒展开 | | $\frac{0}{0}$ | 洛必达法则、等价无穷小、泰勒展开 |
 | $\frac{\infty}{\infty}$ | 洛必达法则、抓大头 | | $\frac{\infty}{\infty}$ | 洛必达法则、抓大头 |
行 182: 行 165:
 ===== 十、一句话总结 ===== ===== 十、一句话总结 =====
  
-> **1^∞ 型未定式的本质**：\ +> **1^∞ 型未定式的本质**： 
-> 底数"无限接近1"，指数"无限大"，两者的"竞赛"决定了最终结果。\+> 底数"无限接近1"，指数"无限大"，两者的"竞赛"决定了最终结果。
 > 用公式 $e^{\lim v(u-1)}$ 就能把这个"竞赛"量化出来。 > 用公式 $e^{\lim v(u-1)}$ 就能把这个"竞赛"量化出来。
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  • 数学分析/1_型未定式.1784525494.txt.gz
  • 最后更改: 2026/07/20 13:31
  • 由 张叶安