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--- 数学分析:集论 [2026/01/08 12:58] – [3. 关键实例] 张叶安
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-====== 1 集论 ======
-===== 1.1 集及其运算 (Sets and Operations) =====
-==== 1. 基本概念与记号 ====
-^ 概念 ^ 记号/公式 ^ 说明 ^
-| **元素归属** | $a \in A$ / $a \notin A$ | $a$ 是集合 $A$ 的元 / 不是 $A$ 的元 |
-| **空集** | $\varnothing$ | 不含任何元素的集合 |
-| **单元素集** | $\{a\}$ | 仅含一个元 $a$ 的集，注意 $\{a\} \neq a$ |
-| **常用数集** | $\mathbf{N}, \mathbf{Z}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}$ | 自然数、整数、有理数、实数、复数集 |
-| **集构造法** | $A = \{x \in X : P(x)\}$ | 由 $X$ 中满足条件 $P$ 的元素组成 |
-==== 2. 包含与幂集 ====
-**子集 (Subset)**:
-$$ A \subset B \iff (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B) $$
-约定：$\varnothing \subset A$ 对任何集成立。
-**相等 (Equality)**:
-$$ A = B \iff A \subset B \text{ 且 } B \subset A $$
-**真子集 (Proper Subset)**:
-$$ A \subsetneq B \iff A \subset B \text{ 且 } A \neq B $$
-**幂集 (Power Set)**: $A$  的子集之全体记作  $2^A$ ，称它为  $A$  的幂集。
-$$ 2^A = \{ S : S \subset A \} $$
-    * 性质: 若 $A$ 含 $n$ 个元，则 $2^A$ 含 $2^n$ 个元。
-    * 注意: $\varnothing \in 2^A$, $2^\varnothing = \{\varnothing\} \neq \varnothing$。
-==== 3. 集合运算 ====
-任何一组 (有限或无限个) 集构成一个集族. 通常用形如  $\{A_{i}: i \in I\}$  (或简写作  $\{A_{i}\}$ ) 的记号表示集族, 其中  $A_{i}$  是集族中的集,  $I$  称为指标集, 并不要求  $A_{i}$  彼此互异。
-设全集为 $X$，任意 $A, B \subset X$ 及集族 $\{A_i\}_{i \in I}$。
-^ 运算名称 ^ 符号 ^ 定义公式 ^
-| **补集** | $A^c$ | $A^c = \{x \in X : x \notin A\}$ |
-| **并集** | $A \cup B$ | $A \cup B = \{x : x \in A \text{ 或 } x \in B\}$ |
-| **交集** | $A \cap B$ | $A \cap B = \{x : x \in A \text{ 且 } x \in B\}$ |
-| **差集** | $A \backslash B$ | $A \backslash B = A \cap B^c = \{x : x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$ |
-| **广义并** | $\bigcup_{i} A_i$ | $\bigcup_{i} A_i = \{x : \exists i, x \in A_i\}$ |
-| **广义交** | $\bigcap_{i} A_i$ | $\bigcap_{i} A_i = \{x : \forall i, x \in A_i\}$ |
-==== 4. 运算律 (详细) ====
-**对偶律 (De Morgan's Laws)**:
-$$ \left(\bigcup_{i} A_{i}\right)^{c} = \bigcap_{i} A_{i}^{c} $$
-$$ \left(\bigcap_{i} A_{i}\right)^{c} = \bigcup_{i} A_{i}^{c} $$
-**分配律**:
-$$ A \cap \left(\bigcup_{i} B_{i}\right) = \bigcup_{i} (A \cap B_{i}) $$
-$$ A \cup \left(\bigcap_{i} B_{i}\right) = \bigcap_{i} (A \cup B_{i}) $$
-**补集与包含关系**:
-$$ A \cap B = \varnothing \iff A \subset B^{c} \iff B \subset A^{c} $$
-$$ A \cap B = A \iff A \subset B \iff A \cup B = B $$
-==== 5. 积集 (Cartesian Product) ====
-**定义**:
-$$ X = \prod_{i=1}^{n} X_{i} = X_1 \times \dots \times X_n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_i \in X_i\} $$
-**例子**:
-**$n$维方体**: $\prod_{i=1}^{n} [a_i, b_i] = \{(x_1, \dots, x_n) : a_i \leqslant x_i \leqslant b_i\}$
-===== 1.2 映射 (Mappings) =====
-==== 1. 定义与要素 ====
-**映射**: $f: X \to Y$，记为 $x \mapsto f(x)$。
-    *   **定义域**: $X$
-    *   **值域**: $R_f = \{f(x) : x \in X\} \subset Y$
-**图形**: $G(f) = \{(x, f(x)) : x \in X\} \subset X \times Y$
-==== 2. 重要的特殊函数 ====
-| **函数名** | **符号** | **定义公式** |
-| **符号函数** | $\operatorname{sgn} x$ | $$ \begin{cases} -1 & (x < 0) \\ 0 & (x = 0) \\ 1 & (x > 0) \end{cases} $$ (性质: $x \cdot \operatorname{sgn} x = |x|$) |
-| **取整函数** | $E(x)$ 或 $[x]$ | $n \leqslant x < n+1$ 时的唯一整数 $n$ |
-| **特征函数** | $\chi_A(x)$ | $$ \begin{cases} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \notin A) \end{cases} $$ |
-| **Dirichlet函数** | $D(x)$ | $$ \begin{cases} 1 & (x \in \mathbf{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbf{Q}) \end{cases} $$ |
-==== 3. 映射的分类与操作 ====
-  *   **单射 (Injection)**: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
-  *   **满射 (Surjection)**: $f(X) = Y$
-  *   **双射 (Bijection)**: 既是单射又是满射 $\implies$ 存在逆映射 $f^{-1}: Y \to X$。
-  *   **复合映射**: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$。
-  *   **限制与扩张**:
-如果我们将函数 $f$ 的定义域从 $X$ 缩小到 $A$，并且保持对应法则不变，那么得到的新函数称为 $f$ 在 $A$ 上的限制。
-如果有一个函数 $g: A \to Y$，我们想找一个定义在更大的集合 $X$ 上的函数 $f: X \to Y$（其中 $A \subset X$），使得 $f$ 在 $A$ 上的行为与 $g$ 完全一致，那么 $f$ 称为 $g$ 到 $X$ 上的扩张（或延拓）。
-==== 4. 像与原像 (Image & Preimage) ====
-这是分析学中极为重要的概念：
-**像 (Image)**:
-$$ f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A, f(x) = y\} $$
-**原像 (Inverse Image)**:
-$$ f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} $$
-=====  1.3 可数集 (Countable Sets) =====
-==== 1. 定义 ====
-  *   **可数集**: 凡是能与自然数集 $\mathbf{N}$ 建立双射的集（无限可数），或者有限集。
-  *   **序列特征**: 集合 $A$ 是可数集 $\iff$ $A$ 的元素可以排列成一个序列（无遗漏）：
-$$ A = \{a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\} $$
-==== 2. 判定定理 ====
-  *   **(i) 子集**: 可数集的子集是可数集。
-  *   **(ii) 双射**: 若 $A \sim B$ (存在双射)，则 $A$ 可数 $\iff B$ 可数。
-  *   **(iii) 可数并**: 可数个可数集之并是可数集。
-$$ A_n \text{ 可数 } (n=1,2,\dots) \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \text{ 可数} $$
-  *   **(iv) 有限积**: 有限个可数集之积集是可数集。
-$$ A, B \text{ 可数 } \implies A \times B \text{ 可数} $$
-==== 3. 关键实例====
-| 集合 | 可数性 | 详细例子 / 证明过程 |
-| **\(\mathbf{Z}\)**（整数） | ✅ 可数 | **显式枚举法**：\\ 按如下顺序排列整数：\\ [ 0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3,\dots \] \\ 定义函数：\\\[ f(1)=0,\ f(2)=1,\ f(3)=-1,\ f(4)=2,\dots \]\\每个整数恰好出现一次 ⇒ 与 \(\mathbf{N}\) 建立双射 ⇒ 可数 |
-| **\(\mathbf{Q}\)**（有理数） | ✅ 可数 | **方法一：有限集并法**（以正有理数为例）\\设：\\\[ A_n=\left\{\frac{p}{q}\in\mathbf{Q}_+:\ p,q\in\mathbf{N},\ \gcd(p,q)=1,\ p+q=n\right\} \]\\例如：\\\(A_2=\{1/1\}\)\\\(A_3=\{1/2,2/1\}\)\\\(A_4=\{1/3,3/1\}\)\\每个 \(A_n\) 都是有限集，且：\\\[ \mathbf{Q}_+=\bigcup_{n=2}^{\infty} A_n \]\\⇒ 可数个有限集之并仍可数 |
-| **\(\mathbf{Q}\)**（补充理解） | ✅ 可数 | **整数对视角**：\\任意有理数 \(\frac{p}{q}\)（\(q\neq 0\)）对应整数对 \((p,q)\)。\\\[ \mathbf{Q}\subset \mathbf{Z}\times\mathbf{Z} \]\\而 \(\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}\) 可通过对角线法枚举 ⇒ 可数 ⇒ 子集仍可数 |
-| **\(\mathbf{Q}^n\)** | ✅ 可数 | **有限笛卡尔积性质**：\\\(\mathbf{Q}\) 可数 ⇒ \(\mathbf{Q}^2=\mathbf{Q}\times\mathbf{Q}\) 可数。\\归纳得：\\\[ \mathbf{Q}^n \text{ 对任意有限 } n \text{ 都是可数的} \] |
-| **代数数** | ✅ 可数 | **定义**：\\存在非零多项式：\\\[ P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,\quad a_i\in\mathbf{Q} \]\\使 \(P(x)=0\)。\\\\**证明步骤**：\\1️⃣ 固定次数 \(n\)，多项式系数属于 \(\mathbf{Q}^{n+1}\)，可数；\\2️⃣ 对所有次数取并：\(\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathbf{Q}^{n+1}\)，仍可数；\\3️⃣ 每个多项式只有有限个根；\\✅ 可数个有限集之并 ⇒ 代数数可数 |
-| **无理数** \(\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}\) | ❌ 不可数 | **反证法**：\\已知：\(\mathbf{R}\) 不可数，\(\mathbf{Q}\) 可数。\\若无理数可数，则：\\\[ \mathbf{R}=\mathbf{Q}\cup(\mathbf{R}\setminus\mathbf{Q}) \]\\为两个可数集之并 ⇒ 可数（矛盾） |
-| **超越数** | ❌ 不可数 | **定义**：不是代数数的实数。\\\[ \mathbf{R}=\{\text{代数数}\}\cup\{\text{超越数}\} \]\\代数数可数，\(\mathbf{R}\) 不可数。\\若超越数可数 ⇒ \(\mathbf{R}\) 可数（矛盾）\\✅ 超越数不可数（且“几乎所有”实数都是超越数） |
-| **\(\mathbf{R}\)**（实数） | ❌ 不可数 | **康托尔对角线法**：\\假设 \((0,1)\) 可枚举：\\\[ x_1=0.a_{11}a_{12}a_{13}\dots \]\\\[ x_2=0.a_{21}a_{22}a_{23}\dots \]\\\(\vdots\)\\构造：\\\[ y=0.b_1b_2b_3\dots,\quad b_n\neq a_{nn} \]\\则 \(y\neq x_n\) 对所有 \(n\)，与“已枚举全部”矛盾 ⇒ 不可数 |

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