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| 数学分析:等价无穷小 [2026/06/02 22:58] – 张叶安 | 数学分析:等价无穷小 [2026/06/02 23:07] (当前版本) – 张叶安 | ||
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| 行 26: | 行 26: | ||
| ===== 基本等价无穷小公式 ===== | ===== 基本等价无穷小公式 ===== | ||
| + | |||
| + | 所有基本等价无穷小都可以从**麦克劳林展开**（$x=0$ 处泰勒展开）读出： | ||
| + | |||
| + | | 函数 | 麦克劳林展开 | 等价无穷小 | | ||
| + | | $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$ | $\sin x \sim x$ | | ||
| + | | $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...$ | $\tan x \sim x$ | | ||
| + | | $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2} + ...$ | $e^x - 1 \sim x$ | | ||
| + | | $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ | $\ln(1+x) \sim x$ | | ||
| + | | $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...$ | $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ | | ||
| + | | $(1+x)^a$ | $1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + ...$ | $(1+x)^a - 1 \sim ax$ | | ||
| + | |||
| + | **核心公式**：若 $f(0)=0$，$f' | ||
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| 行 41: | 行 53: | ||
| | $\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$ | 换底公式 | $O(x^2)$ | | | $\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$ | 换底公式 | $O(x^2)$ | | ||
| - | ==== 广义形式（复合函数） ==== | ||
| - | 若 $\alpha(x) \to 0$ 且 $\alpha(x) \neq 0$，则： | ||
| - | * $\sin \alpha(x) \sim \alpha(x)$ | ||
| - | * $\ln(1+\alpha(x)) \sim \alpha(x)$ | ||
| - | * $e^{\alpha(x)} - 1 \sim \alpha(x)$ | ||
| - | * $(1+\alpha(x))^a - 1 \sim a\cdot\alpha(x)$ | ||
| - | **口诀**：//" | + | ===== 核心定理：等价无穷小替换原理 ===== |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | ===== 3. 核心定理：等价无穷小替换原理 ===== | + | |
| - | + | ||
| - | ==== 定理内容 | + | |
| 设 $\alpha \sim \alpha' | 设 $\alpha \sim \alpha' | ||
| 行 69: | 行 70: | ||
| - | ===== 4. ⚠️ 加减法禁止直接替换 ===== | + | ===== ⚠️ 加减法禁止直接替换 ===== |
| - | + | ||
| - | ==== 为什么？ | + | |
| **反例**： | **反例**： | ||
| 行 105: | 行 104: | ||
| - | 所有基本等价无穷小都可以从**麦克劳林展开**（$x=0$ 处泰勒展开）读出： | ||
| - | | 函数 | 麦克劳林展开 | 等价无穷小 | | ||
| - | |------|-------------|-----------| | ||
| - | | $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...$ | $\sin x \sim x$ | | ||
| - | | $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...$ | $\tan x \sim x$ | | ||
| - | | $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2} + ...$ | $e^x - 1 \sim x$ | | ||
| - | | $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ | $\ln(1+x) \sim x$ | | ||
| - | | $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...$ | $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ | | ||
| - | | $(1+x)^a$ | $1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + ...$ | $(1+x)^a - 1 \sim ax$ | | ||
| - | |||
| - | **核心公式**：若 $f(0)=0$，$f' | ||
张叶安