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--- 数学分析:欧几里得空间 [2026/01/09 13:30] – [4. 球与有界集] 张叶安
+++ 数学分析:欧几里得空间 [2026/02/18 19:40] (当前版本) – 移除张叶安
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-======  欧几里得空间 (Euclidean Space) ======
-实数系 $\mathbf{R}$ 的 $n$ 重积定义为 $n$ 维实 欧几里得空间：
-$$ \mathbf{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : x_i \in \mathbf{R} \} $$
-其中 $\mathbf{0} = (0, \dots, 0)$ 为原点。
-===== 线性结构 (Linear Structure) =====
-$\mathbf{R}^n$ 具备向量空间结构。
-==== 1. 线性运算 ====
-对于 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^n, \alpha \in \mathbf{R}$：
-  *   **加法**: $\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$
-  *   **数乘**: $\alpha \mathbf{x} = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_n)$
-**运算性质 :**
-  *   加法结合律、交换律
-  *   存在零元 $\mathbf{0}$ 和负元 $-\mathbf{x}$
-  *   数乘分配律、结合律
-  *   单位元性质 $1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}$
-==== 2. 几何概念 ====
-  *   **线段**: $[a, b] \triangleq \{(1 - t)a + tb : 0 \leqslant t \leqslant 1\}$
-  *   **直线**: $L = \{(1 - t)a + tb : t \in \mathbf{R}\}$
-  *   **凸集 (Convex Set)**: 若 $\forall a, b \in A$，都有 $[a, b] \subset A$，则 $A$ 为凸集。
-  *   **线性流形 (平面)**: 子空间 $A$ 平移后得到的集合 $A + b$。
-  *   **标准基**: $e_1, \dots, e_n$，其中 $e_i$ 第 $i$ 个分量为 1，其余为 0。
-===== 度量 (Metric) =====
-通过引入模长和内积，赋予空间几何性质。
-==== 1. 模长 (Euclid 范数) ====
-定义：$|\mathbf{x}| = (\sum x_i^2)^{1/2}$
-**性质 (定理 3.2.1):**
-  *   **齐次性**: $|\alpha \mathbf{x}| = |\alpha| |\mathbf{x}|$
-  *   **三角不等式**: $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$
-  *   **正定性**: $|\mathbf{x}| \geqslant 0$，且 $|\mathbf{x}| = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$
-==== 2. 内积 (Inner Product) ====
-定义：$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum x_i y_i = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$
-**性质 :**
-  *   **对称性**: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x}$
-  *   **双线性**: $(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \alpha \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \beta \mathbf{y} \cdot \mathbf{z}$
-  *   **正定性**: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = |\mathbf{x}|^2 \geqslant 0$
-  *   **Cauchy-Schwarz 不等式**: $|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$
-==== 3. 几何应用 ====
-  *   **夹角**: $\cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{|\mathbf{x}| |\mathbf{y}|}$
-  *   **正交**: $\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \Leftrightarrow \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0$
-  *   **勾股定理**: 若 $\mathbf{x} \perp \mathbf{y}$，则 $|\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 + |\mathbf{y}|^2$
-  *   **极化恒等式**: $4\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2$
-  *   **超平面**: 方程 $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$，其中 $\mathbf{n}$ 为法向量。
-==== 4. 球与有界集 ====
-  *   **开球**: $B_r(a) = \{x : |x - a| < r\}$
-  *   **闭球**: $\bar{B}_r(a) = \{x : |x - a| \leqslant r\}$
-  *   **球面**: $S_r(a) = \{x : |x - a| = r\}$ ($S^{n-1}$ 为单位球面)
-  *   **有界集**: 存在球包含该集合 $\Leftrightarrow \sup |x| < \infty \Leftrightarrow \text{diam } A < \infty$ ，diam：直径
-=====  点集 (Point Sets) =====
-拓扑结构的基础，描述点的“邻近”关系。
-^ 概念 ^ 定义 ^ 集合记号 ^
-| **内点** | 存在球 $B_r(x) \subset A$ | 内部 $A^\circ$ |
-| **触点** | $\forall r>0, B_r(x) \cap A \neq \emptyset$ | 闭包 $\overline{A}$ |
-| **边界点** | $\forall r>0, B_r(x)$ 既含 $A$ 点也含 $A^c$ 点 | 边界 $\partial A$ |
-| **聚点** | $\forall r>0, B_r(x)$ 含 $A$ 中异于 $x$ 的点 | 导集 $A'$ |
-==== 1. 开集与闭集 ====
-  *   **开集**: $A = A^\circ$ (所有点皆为内点)
-  *   **闭集**: $A = \overline{A}$ (包含所有触点)
-  *   **紧集**: 有界闭集
-  *   **对偶性公式**:
-    *   $\overline{A} = (A^c)^\circ {}^c$
-    *   $A^\circ = (\overline{A^c})^c$
-    *   $A$ 是闭集 $\Leftrightarrow A^c$ 是开集
-**定理 3.3.2 (运算封闭性):**
-  *   **开集**: 任意并、有限交仍为开集。
-  *   **闭集**: 任意交、有限并仍为闭集。
-**定理 3.3.3 (结构):**
-  *   $\mathbf{R}^1$ 中的开集是可数个互不相交开区间的并。
-  *   $\mathbf{R}^n$ 中的开集是可数个开球的并。
-==== 2. 区域 (Region) ====
-  *   **定义**: 连通的开集（任意两点可用含于该集合的折线连接）。
-  *   **闭区域**: 区域及其边界的并。
-==== 3. 邻域基 ====
-  *   **定义**: 一族邻域 $\{U_\alpha\}$，使得对任意邻域 $V$，存在 $U_\alpha \subset V$。
-  *   常用基：球邻域基 $\{B_{1/k}(x)\}$，方体邻域基 $\{C_r(x)\}$。
-===== 复平面 (Complex Plane) =====
-$\mathbf{R}^2$ 赋予乘法结构后成为复数域 $\mathbf{C}$。
-==== 1. 代数结构 ====
-  *   **乘法定义**: $(x, y)(x_1, y_1) = (xx_1 - yy_1, xy_1 + x_1y)$
-  *   **标准型**: $z = x + \mathrm{i}y$，其中 $\mathrm{i} = (0, 1), \mathrm{i}^2 = -1$
-  *   **共轭**: $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$
-  *   **模与辐角**: $x = |z|\cos(\text{Arg } z), y = |z|\sin(\text{Arg } z)$
-**重要关系式:**
-  *   $z \bar{z} = |z|^2$
-  *   $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \quad \overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$
-  *   $|zw| = |z||w|$
-==== 2. 复变函数基础 ====
-  *   **Euler 公式**: $\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \cos y + \mathrm{i}\sin y$
-  *   **指数函数**: $\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i}\sin y)$ (周期 $2\pi\mathrm{i}$)
-  *   **对数函数**: $\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\operatorname{Arg} z$ (多值)【辐角（Argument, $\arg z$）：这个向量与 $x$ 轴正方向之间的夹角。−π<Arg z≤π】
-  *   **幂函数**: $z^\alpha = \mathrm{e}^{\alpha \ln z}$
-  *   **开方**: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \exp\left(\frac{2k\pi + \mathrm{i}\arg z}{n}\right)\mathrm{i}$
-==== 3. 三角恒等式 (由 Euler 公式推导) ====
-**求和公式:**
-$$ \sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin(n + 1/2)x}{2\sin(x/2)} - \frac{1}{2} $$
-$$ \sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)} $$
-**幂次展开 (Dirichlet Kernel 相关):**
-$$ \cos^n x, \sin^n x $$ 可通过二项式展开 $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} \pm \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^n$ 转化为倍角余弦/正弦的线性组合 。
-$$
-\begin{cases}
-\cos nx = \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k \binom{n}{2k} (\sin x)^{2k} (\cos x)^{n-2k} \\
-\sin nx = \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} (-1)^k \binom{n}{2k+1} (\sin x)^{2k+1} (\cos x)^{n-2k-1}
-\end{cases}
-$$
-$$
-\begin{cases}
-\sin^{2n}x = \frac{1}{4^n} \left[ \binom{2n}{n} + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \binom{2n}{n-k} \cos 2kx \right], \\
-\sin^{2n+1}x = \frac{1}{4^n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n+1}{n-k} \sin(2k+1)x, \\
-\cos^{2n}x = \frac{1}{4^n} \left[ \binom{2n}{n} + 2 \sum_{k=1}^{n} \binom{2n}{n-k} \cos 2kx \right], \\
-\cos^{2n+1}x = \frac{1}{4^n} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{n-k} \cos(2k+1)x.
-\end{cases}
-$$

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