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| 数学分析:欧几里得空间 [2026/01/04 12:49] – [3. 几何应用] 张叶安 | 数学分析:欧几里得空间 [2026/02/18 19:40] (当前版本) – 移除 张叶安 |
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| ====== 欧几里得空间 (Euclidean Space) ====== | |
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| 实数系 $\mathbf{R}$ 的 $n$ 重积定义为 $n$ 维实 欧几里得空间： | |
| $$ \mathbf{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : x_i \in \mathbf{R} \} $$ | |
| 其中 $\mathbf{0} = (0, \dots, 0)$ 为原点。 | |
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| ===== 1 线性结构 (Linear Structure) ===== | |
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| $\mathbf{R}^n$ 具备向量空间结构。 | |
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| ==== 1. 线性运算 ==== | |
| 对于 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^n, \alpha \in \mathbf{R}$： | |
| * **加法**: $\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$ | |
| * **数乘**: $\alpha \mathbf{x} = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_n)$ | |
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| **运算性质 (命题 3.1.1):** | |
| * 加法结合律、交换律 | |
| * 存在零元 $\mathbf{0}$ 和负元 $-\mathbf{x}$ | |
| * 数乘分配律、结合律 | |
| * 单位元性质 $1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}$ | |
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| ==== 2. 几何概念 ==== | |
| * **线段**: $[a, b] \triangleq \{(1 - t)a + tb : 0 \leqslant t \leqslant 1\}$ | |
| * **直线**: $L = \{(1 - t)a + tb : t \in \mathbf{R}\}$ | |
| * **凸集 (Convex Set)**: 若 $\forall a, b \in A$，都有 $[a, b] \subset A$，则 $A$ 为凸集。 | |
| * **线性流形 (平面)**: 子空间 $A$ 平移后得到的集合 $A + b$。 | |
| * **标准基**: $e_1, \dots, e_n$，其中 $e_i$ 第 $i$ 个分量为 1，其余为 0。 | |
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| ===== 度量 (Metric) ===== | |
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| 通过引入模长和内积，赋予空间几何性质。 | |
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| ==== 1. 模长 (Euclid 范数) ==== | |
| 定义：$|\mathbf{x}| = (\sum x_i^2)^{1/2}$ | |
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| **性质 (定理 3.2.1):** | |
| * **齐次性**: $|\alpha \mathbf{x}| = |\alpha| |\mathbf{x}|$ | |
| * **三角不等式**: $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$ | |
| * **正定性**: $|\mathbf{x}| \geqslant 0$，且 $|\mathbf{x}| = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$ | |
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| ==== 2. 内积 (Inner Product) ==== | |
| 定义：$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum x_i y_i = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$ | |
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| **性质 (命题 3.2.2):** | |
| * **对称性**: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x}$ | |
| * **双线性**: $(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \alpha \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \beta \mathbf{y} \cdot \mathbf{z}$ | |
| * **正定性**: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = |\mathbf{x}|^2 \geqslant 0$ | |
| * **Cauchy-Schwarz 不等式**: $|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$ | |
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| ==== 3. 几何应用 ==== | |
| * **夹角**: $\cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{|\mathbf{x}| |\mathbf{y}|}$ | |
| * **正交**: $\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \Leftrightarrow \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0$ | |
| * **勾股定理**: 若 $\mathbf{x} \perp \mathbf{y}$，则 $|\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 + |\mathbf{y}|^2$ | |
| * **极化恒等式**: $4\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2$ | |
| * **超平面**: 方程 $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$，其中 $\mathbf{n}$ 为法向量。 | |
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| ==== 4. 球与有界集 ==== | |
| * **开球**: $B_r(a) = \{x : |x - a| < r\}$ | |
| * **闭球**: $\bar{B}_r(a) = \{x : |x - a| \leqslant r\}$ | |
| * **球面**: $S_r(a) = \{x : |x - a| = r\}$ ($S^{n-1}$ 为单位球面) | |
| * **有界集**: 存在球包含该集合 $\Leftrightarrow \sup |x| < \infty \Leftrightarrow \text{diam } A < \infty$ | |
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| ===== 点集 (Point Sets) ===== | |
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| 拓扑结构的基础，描述点的“邻近”关系。 | |
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| ^ 概念 ^ 定义 ^ 集合记号 ^ | |
| | **内点** | 存在球 $B_r(x) \subset A$ | 内部 $A^\circ$ | | |
| | **触点** | $\forall r>0, B_r(x) \cap A \neq \emptyset$ | 闭包 $\overline{A}$ | | |
| | **边界点** | $\forall r>0, B_r(x)$ 既含 $A$ 点也含 $A^c$ 点 | 边界 $\partial A$ | | |
| | **聚点** | $\forall r>0, B_r(x)$ 含 $A$ 中异于 $x$ 的点 | 导集 $A'$ | | |
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| ==== 1. 开集与闭集 ==== | |
| * **开集**: $A = A^\circ$ (所有点皆为内点) | |
| * **闭集**: $A = \overline{A}$ (包含所有触点) | |
| * **紧集**: 有界闭集 | |
| * **对偶性公式**: | |
| * $\overline{A} = (A^c)^\circ {}^c$ | |
| * $A^\circ = (\overline{A^c})^c$ | |
| * $A$ 是闭集 $\Leftrightarrow A^c$ 是开集 | |
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| **定理 3.3.2 (运算封闭性):** | |
| * **开集**: 任意并、有限交仍为开集。 | |
| * **闭集**: 任意交、有限并仍为闭集。 | |
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| **定理 3.3.3 (结构):** | |
| * $\mathbf{R}^1$ 中的开集是可数个互不相交开区间的并。 | |
| * $\mathbf{R}^n$ 中的开集是可数个开球的并。 | |
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| ==== 2. 区域 (Region) ==== | |
| * **定义**: 连通的开集（任意两点可用含于该集合的折线连接）。 | |
| * **闭区域**: 区域及其边界的并。 | |
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| ==== 3. 邻域基 ==== | |
| * **定义**: 一族邻域 $\{U_\alpha\}$，使得对任意邻域 $V$，存在 $U_\alpha \subset V$。 | |
| * 常用基：球邻域基 $\{B_{1/k}(x)\}$，方体邻域基 $\{C_r(x)\}$。 | |
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| ===== 3.4 复平面 (Complex Plane) ===== | |
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| $\mathbf{R}^2$ 赋予乘法结构后成为复数域 $\mathbf{C}$。 | |
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| ==== 1. 代数结构 ==== | |
| * **乘法定义**: $(x, y)(x_1, y_1) = (xx_1 - yy_1, xy_1 + x_1y)$ | |
| * **标准型**: $z = x + \mathrm{i}y$，其中 $\mathrm{i} = (0, 1), \mathrm{i}^2 = -1$ | |
| * **共轭**: $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$ | |
| * **模与辐角**: $x = |z|\cos(\text{Arg } z), y = |z|\sin(\text{Arg } z)$ | |
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| **重要关系式:** | |
| * $z \bar{z} = |z|^2$ | |
| * $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \quad \overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$ | |
| * $|zw| = |z||w|$ | |
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| ==== 2. 复变函数基础 ==== | |
| * **Euler 公式**: $\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \cos y + \mathrm{i}\sin y$ | |
| * **指数函数**: $\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i}\sin y)$ (周期 $2\pi\mathrm{i}$) | |
| * **对数函数**: $\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\operatorname{Arg} z$ (多值) | |
| * **幂函数**: $z^\alpha = \mathrm{e}^{\alpha \ln z}$ | |
| * **开方**: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \exp\left(\frac{2k\pi + \mathrm{i}\arg z}{n}\right)\mathrm{i}$ | |
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| ==== 3. 三角恒等式 (由 Euler 公式推导) ==== | |
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| **求和公式:** | |
| $$ \sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin(n + 1/2)x}{2\sin(x/2)} - \frac{1}{2} $$ | |
| $$ \sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)} $$ | |
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| **幂次展开 (Dirichlet Kernel 相关):** | |
| $$ \cos^n x, \sin^n x $$ 可通过二项式展开 $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} \pm \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^n$ 转化为倍角余弦/正弦的线性组合 (见公式 29d)。 | |
张叶安