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-====== 2 实数理论 ======
-本章节基于 Dedekind 分划理论建立严格的实数系统，定义了序关系与四则运算，并在此基础上重新阐述了初等函数的定义与性质。
-===== 2.1 实数及其顺序 =====
-==== 1. Dedekind 分划与无理数定义 ====
-**分划定义的引入：**
-设 $A, B$ 是两个数集，约定：
-$$
-\begin{cases}
-A < B \Leftrightarrow \forall a \in A, \forall b \in B, \text{有 } a < b \\
-A \leqslant B \Leftrightarrow \forall a \in A, \forall b \in B, \text{有 } a \leqslant b
-\end{cases} \tag{1}
-$$
-若有理数集 $\mathbb{Q}$ 的两个子集 $A, A'$ 满足：
-  - (i) $A \neq \emptyset, A' \neq \emptyset$ 且 $\mathbb{Q} = A \cup A'$
-  - (ii) $A < A'$
-则称 $A \mid A'$ 是 $\mathbb{Q}$ 的一个**分划**。
-**实数的定义：**
-  *   **有理数：** 若 $A$ 有最大数或 $A'$ 有最小数 $r$，则分划定义有理数 $r$。
-  *   **无理数：** 若分划不以有理数为界数（即 $A$ 无最大数且 $A'$ 无最小数），则定义一个无理数 $\alpha$。
-  *   **实数系 $\mathbb{R}$：** 有理数分划之全体。记为 $\alpha = A \mid A'$。
-==== 2. 序关系 ====
-设 $\alpha = A \mid A', \beta = B \mid B'$：
-  *   **大小定义：** 若 $A \subset B$，则 $\alpha \leqslant \beta$。若 $A \subsetneq B$，则 $\alpha < \beta$。
-  *   **性质 ：**
-    *   自反性、传递性、反对称性。
-    *   **完全性：** $\alpha < \beta, \alpha = \beta, \alpha > \beta$ 恰有一个成立。
-    *   **稠密性：** $\alpha < \beta \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q}: \alpha < r < \beta$。
-    *   **逼近性：** $\forall \varepsilon > 0, \exists r, s \in \mathbb{Q}$，使 $r < \alpha < s, s - r < \varepsilon$。
-    *   **Archimedes 性质：** $\exists n \in \mathbb{N}, n > \alpha$。
-**连续性定理 (Dedekind)：**
-$\mathbb{R}$ 的任一分划 $A \mid A'$ 均有一界数 $\beta$（$\beta$ 为 $A$ 的最大数或 $A'$ 的最小数）。这体现了实数系的完备性。
-==== 3. 确界与广义实数 ====
-**定义：**
-  *   **上确界 ($\sup A$)：** 最小上界。
-  *   **下确界 ($\inf A$)：** 最大下界。
-  *   **广义实数系 $\overline{\mathbb{R}}$：** $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$。
-**确界定理 (2.1.6)：**
-$\mathbb{R}$ 中任何非空子集 $A$ 在 $\overline{\mathbb{R}}$ 中必有上确界和下确界。
-**确界的性质与公式：**
-$$ -\infty \leqslant \inf A \leqslant \sup A \leqslant \infty \tag{2} $$
-$$ A \leqslant B \Rightarrow \sup A \leqslant \inf B \tag{3} $$
-$$ A \subset B \Rightarrow \inf A \geqslant \inf B, \quad \sup A \leqslant \sup B \tag{4} $$
-**确界的充要条件：**
-$$
-\begin{cases}
-M = \sup A \Leftrightarrow A \leqslant M \text{ 且 } \forall b \in (-\infty, M), \exists a \in A \cap (b, M] \\
-m = \inf A \Leftrightarrow A \geqslant m \text{ 且 } \forall b \in (m, \infty), \exists a \in A \cap [m, b)
-\end{cases} \tag{5a}
-$$
-**二元集记号：**
-$$ a \vee b = \max \{a, b\}, \quad a \wedge b = \min \{a, b\} \tag{6} $$
-=====  2.2 有理运算 =====
-==== 1. 加法与乘法定义 ====
-利用有理数逼近定义实数运算：
-**加法：**
-$$ \alpha + \beta = \sup \{a + b : a, b \in \mathbb{Q}, a < \alpha, b < \beta\} \tag{7} $$
-**乘法 (针对正数)：**
-$$ \alpha \beta = \sup \{ab : a, b \in \mathbb{Q}, 0 < a < \alpha, 0 < b < \beta\} \tag{8} $$
-*(其他情况通过符号法则定义)*
-==== 2. 绝对值与不等式 ====
-**定义：**
-$$
-|\alpha| = \begin{cases} \alpha & (\alpha \geqslant 0) \\ -\alpha & (\alpha < 0) \end{cases} \tag{9}
-$$
-**重要不等式：**
-$$ \big| |\alpha| - |\beta| \big| \leqslant |\alpha - \beta| \tag{10} $$
-$$ \left| \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \right| \leqslant \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i| \tag{10} $$
-==== 3. 涉及无穷的运算约定 ====
-$$
-\begin{cases}
-\infty + a = \infty \cdot b = \infty & (-\infty < a \leqslant \infty, b > 0) \\
--\infty + a = (-\infty) \cdot b = \infty \cdot (-b) = -\infty & (-\infty \leqslant a < \infty, b > 0) \\
-a / (\pm \infty) = 0 & (a \in \mathbb{R})
-\end{cases} \tag{11}
-$$
-*注：$\infty - \infty, \infty \cdot 0, a/0$ 无意义。*
-==== 4. 集合运算与确界 ====
-**集合运算定义：**
-$$
-\begin{cases}
-A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\} \\
-AB = \{ab : a \in A, b \in B\} \\
--A = \{-a : a \in A\}, \quad A^{-1} = \{a^{-1} : a \in A\} (0 \notin A)
-\end{cases} \tag{12}
-$$
-**确界运算性质：**
-$$
-\begin{cases}
-\sup(A + B) = \sup A + \sup B \\
-\inf(A + B) = \inf A + \inf B \\
-\sup(-A) = -\inf A
-\end{cases} \tag{13}
-$$
-若 $A, B \subset (0, \infty)$：
-$$
-\begin{cases}
-\sup AB = \sup A \sup B \\
-\inf AB = \inf A \inf B \\
-\sup A^{-1} = (\inf A)^{-1} & (\inf A \neq 0)
-\end{cases} \tag{14}
-$$
-**函数确界不等式：**
-$$
-\begin{cases}
-\sup_{x \in X} [f(x) + g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) \\
-\inf_{x \in X} [f(x) + g(x)] \geqslant \inf_{x \in X} f(x) + \inf_{x \in X} g(x)
-\end{cases} \tag{15}
-$$
-若 $f, g \geqslant 0$：
-$$ \sup_{x \in X} [f(x)g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) \sup_{x \in X} g(x) \tag{16} $$
-=====  2.3 初等函数 =====
-==== 1. 基本初等函数 ====
-  *   **多项式与有理函数：**
-$$ P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i, \quad f(x) = P(x) / Q(x) \tag{17, 18} $$
-  *   **幂函数 $x^\alpha$：**
-    *   若 $\alpha = 1/n$，定义为算术根：
-        $$ x^{1/n} = \sup \{\xi : \xi^n \leqslant x\} \quad (x > 0) \tag{19} $$
-    *   若 $\alpha$ 为无理数：
-$$
-        x^\alpha = \begin{cases}
-        \sup \{x^r : r \in \mathbb{Q} \cap (0, \alpha)\} & (x \geqslant 1) \\
-        [(x^{-1})^\alpha]^{-1} & (0 < x < 1)
-        \end{cases} \tag{20}
-$$
-  *   **指数函数 $a^x$：**
-    *   $a^x = \sup \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r < x\}$ (当 $a>1$)。
-    *   性质：$a^{x+y} = a^x a^y$。
-  *   **对数函数 $\log_a x$：**
-    *   定义为 $a^\xi = x$ 的根。
-    *   公式：
-$$ a^{\log_a x} = x \tag{24} $$
-$$ \log_b x = \log_b a \log_a x, \quad \log_a x^\alpha = \alpha \log_a x \tag{25} $$
-$$ x^\alpha = a^{\alpha \log_a x} \tag{27} $$
-  *   **三角函数：**
-    *   $\sin x$ 为周期 $2\pi$ 的奇函数。
-    *   反三角函数关系：
-$$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x \quad (|x| \leqslant 1) \tag{29} $$
-$$ \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x \quad (|x| < \infty) $$
-==== 2. 双曲函数 (Hyperbolic Functions) ====
-**定义：**
-$$
-\begin{cases}
-\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
-\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
-\operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} \\
-\operatorname{coth} x = \frac{1}{\operatorname{th} x} \quad (x \neq 0)
-\end{cases} \tag{30}
-$$
-**恒等式：**
-$$
-\begin{cases}
-\operatorname{sh}(x \pm y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y \\
-\operatorname{ch}(x \pm y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y
-\end{cases} \tag{31}
-$$
-$$ \operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1 \tag{32} $$
-$$
-\begin{cases}
-\operatorname{sh} 2x = 2 \operatorname{sh} x \\
-\operatorname{ch} 2x = 2 \operatorname{ch}^2 x - 1 = 2 \operatorname{sh}^2 x + 1
-\end{cases} \tag{33}
-$$
-**反双曲函数 (对数表达式)：**
-  *   **反双曲正弦：**
-$$ \operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (x \in \mathbb{R}) \tag{34a} $$
-  *   **反双曲余弦：**
-$$ \operatorname{arch} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (x \geqslant 1) \tag{34b} $$
-  *   **反双曲正切：**
-$$ \operatorname{arth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad (|x| < 1) \tag{34c} $$
-  *   **反双曲余切：**
-$$ \operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1} \quad (|x| > 1) \tag{34d} $$

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