数学分析:实数理论

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数学分析:实数理论 [2026/01/09 13:18] – [1. 加法与乘法定义] 张叶安数学分析:实数理论 [2026/01/09 13:26] (当前版本) – 张叶安
行 238: 行 238:
 $$ \sup_{x \in X} [f(x)g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) \sup_{x \in X} g(x) \tag{16} $$ $$ \sup_{x \in X} [f(x)g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) \sup_{x \in X} g(x) \tag{16} $$
  
-=====  2.3 初等函数 ===== 
  
-==== 1. 基本初等函数 ==== 
- 
-  *   **多项式与有理函数：** 
- 
-$$ P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i, \quad f(x) = P(x) / Q(x) \tag{17, 18} $$ 
- 
-  *   **幂函数 $x^\alpha$：** 
-    *   若 $\alpha = 1/n$，定义为算术根： 
-        $$ x^{1/n} = \sup \{\xi : \xi^n \leqslant x\} \quad (x > 0) \tag{19} $$ 
-    *   若 $\alpha$ 为无理数： 
-$$ 
-        x^\alpha = \begin{cases} 
-        \sup \{x^r : r \in \mathbb{Q} \cap (0, \alpha)\} & (x \geqslant 1) \\ 
-        [(x^{-1})^\alpha]^{-1} & (0 < x < 1) 
-        \end{cases} \tag{20} 
-$$ 
- 
-  *   **指数函数 $a^x$：** 
-    *   $a^x = \sup \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r < x\}$ (当 $a>1$)。 
-    *   性质：$a^{x+y} = a^x a^y$。 
- 
-  *   **对数函数 $\log_a x$：** 
-    *   定义为 $a^\xi = x$ 的根。 
-    *   公式： 
-$$ a^{\log_a x} = x \tag{24} $$ 
-$$ \log_b x = \log_b a \log_a x, \quad \log_a x^\alpha = \alpha \log_a x \tag{25} $$ 
-$$ x^\alpha = a^{\alpha \log_a x} \tag{27} $$ 
- 
-  *   **三角函数：** 
-    *   $\sin x$ 为周期 $2\pi$ 的奇函数。 
-    *   反三角函数关系： 
-$$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x \quad (|x| \leqslant 1) \tag{29} $$ 
-$$ \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x \quad (|x| < \infty) $$ 
- 
-==== 2. 双曲函数 (Hyperbolic Functions) ==== 
- 
-**定义：** 
- 
-$$ 
-\begin{cases} 
-\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ 
-\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ 
-\operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} \\ 
-\operatorname{coth} x = \frac{1}{\operatorname{th} x} \quad (x \neq 0) 
-\end{cases} \tag{30} 
-$$ 
- 
-**恒等式：** 
- 
-$$ 
-\begin{cases} 
-\operatorname{sh}(x \pm y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y \\ 
-\operatorname{ch}(x \pm y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y 
-\end{cases} \tag{31} 
-$$ 
- 
-$$ \operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1 \tag{32} $$ 
-$$ 
-\begin{cases} 
-\operatorname{sh} 2x = 2 \operatorname{sh} x \\ 
-\operatorname{ch} 2x = 2 \operatorname{ch}^2 x - 1 = 2 \operatorname{sh}^2 x + 1 
-\end{cases} \tag{33} 
-$$ 
- 
-**反双曲函数 (对数表达式)：** 
-  *   **反双曲正弦：** 
-$$ \operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (x \in \mathbb{R}) \tag{34a} $$ 
-  *   **反双曲余弦：** 
- 
-$$ \operatorname{arch} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (x \geqslant 1) \tag{34b} $$ 
- 
-  *   **反双曲正切：** 
-$$ \operatorname{arth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad (|x| < 1) \tag{34c} $$ 
-  *   **反双曲余切：** 
-$$ \operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1} \quad (|x| > 1) \tag{34d} $$ 
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  • 最后更改: 2026/01/09 13:26
  • 由 张叶安