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| 数学分析:实数与极限 [2026/02/18 20:17] – [1.1.3 实数的完备性] 张叶安 | 数学分析:实数与极限 [2026/02/18 20:19] (当前版本) – [1.1.3 实数的完备性] 张叶安 | ||
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| 行 66: | 行 66: | ||
| - 若存在 $M \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \leq M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 为一个上界 | - 若存在 $M \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \leq M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 为一个上界 | ||
| - 上确界 $\sup S$ 是最小的上界，满足： | - 上确界 $\sup S$ 是最小的上界，满足： | ||
| - | - (1) 是上界； | + | - 是上界 |
| - | - (2) 任何小于它的数都不是上界 | + | - 任何小于它的数都不是上界 |
| - | - 设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空：若存在 $m \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \geq m$，则称 $S$ **有下界**，$m$ 为一个**下界** | + | - 若存在 $m \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \geq m$，则称 $S$ **有下界**，$m$ 为一个**下界** |
| - 下确界 $\inf S$ 是最大的下界，满足： | - 下确界 $\inf S$ 是最大的下界，满足： | ||
| - | - (1) **是下界**：$\forall x \in S, x \geq \inf S$ | + | - 是下界 |
| - | - (2) **最大性**：$\forall \varepsilon > 0, \exists x_0 \in S$ 使得 $x_0 < \inf S + \varepsilon$（即任何大于它的数都不是下界） | + | - 任何大于它的数都不是下界 |
| **例 1.1** 设 $S = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2, x > 0\}$，则 $\sup S = \sqrt{2}$。 | **例 1.1** 设 $S = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2, x > 0\}$，则 $\sup S = \sqrt{2}$。 | ||
张叶安