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| 数学分析:实数与极限 [2026/02/18 19:45] – ↷ 页面名由数学分析:第一章_实数与极限改为数学分析:实数与极限 张叶安 | 数学分析:实数与极限 [2026/02/18 20:19] (当前版本) – [1.1.3 实数的完备性] 张叶安 | ||
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| ==== 1.1.1 实数的引入 ==== | ==== 1.1.1 实数的引入 ==== | ||
| - | 数学分析的基础是实数系统。为什么要研究实数？ | + | 为什么要研究实数？ |
| **有理数的定义：** | **有理数的定义：** | ||
| 行 15: | 行 15: | ||
| 有理数集合 $\mathbb{Q}$ 虽然对四则运算封闭，但存在" | 有理数集合 $\mathbb{Q}$ 虽然对四则运算封闭，但存在" | ||
| - | 假设 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 互质。则 $p^2 = 2q^2$，故 $p^2$ 是偶数，从而 $p$ 是偶数。设 $p = 2k$，则 $4k^2 = 2q^2$，即 $q^2 = 2k^2$，故 $q$ 也是偶数。这与 $p, q$ 互质矛盾！ | + | 假设 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 为互质的整数。则 $p^2 = 2q^2$，故 $p^2$ 只能是偶数，奇数的平方为奇数，从而 $p$ 是偶数。设 $p = 2k$，则 $4k^2 = 2q^2$，即 $q^2 = 2k^2$，故 $q$ 也是偶数。这与 $p, q$ 互质矛盾！ |
| 因此，仅靠有理数无法描述数轴上所有的点，需要引入无理数，形成完整的实数系统。 | 因此，仅靠有理数无法描述数轴上所有的点，需要引入无理数，形成完整的实数系统。 | ||
| 行 40: | 行 40: | ||
| 这个分割就是类型三，定义了无理数 $\sqrt{2}$。 | 这个分割就是类型三，定义了无理数 $\sqrt{2}$。 | ||
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| + | > 戴德金说：「我们不需要创造新的数，我们只需要承认有理数之间的空缺就是一个数。」 | ||
| ==== 1.1.3 实数的完备性 ==== | ==== 1.1.3 实数的完备性 ==== | ||
| 行 63: | 行 65: | ||
| 设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空： | 设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空： | ||
| - 若存在 $M \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \leq M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 为一个上界 | - 若存在 $M \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \leq M$，则称 $S$ 有上界，$M$ 为一个上界 | ||
| - | - 上确界 $\sup S$ 是最小的上界，满足：(1) 是上界；(2) | + | - 上确界 $\sup S$ 是最小的上界，满足： |
| + | - 是上界 | ||
| + | - 任何小于它的数都不是上界 | ||
| + | - 若存在 $m \in \mathbb{R}$ 使得对所有 $x \in S$ 有 $x \geq m$，则称 $S$ **有下界**，$m$ 为一个**下界** | ||
| + | - 下确界 $\inf S$ 是最大的下界，满足： | ||
| + | - 是下界 | ||
| + | - 任何大于它的数都不是下界 | ||
| **例 1.1** 设 $S = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2, x > 0\}$，则 $\sup S = \sqrt{2}$。 | **例 1.1** 设 $S = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2, x > 0\}$，则 $\sup S = \sqrt{2}$。 | ||
张叶安