数学分析:多元函数积分学

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数学分析:多元函数积分学 [2026/02/19 15:42] – 张叶安数学分析:多元函数积分学 [2026/02/19 15:46] (当前版本) – [7.4.4 三大公式的统一] 张叶安
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 **计算方法** **计算方法**
 若曲面 $\Sigma: z=z(x,y), (x,y) \in D_{xy}$，则面积元素 若曲面 $\Sigma: z=z(x,y), (x,y) \in D_{xy}$，则面积元素
 +
 $$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy$$ $$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy$$
-$$\iint_\Sigma f(x,y,z)dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$+ 
 +$$\iint_\Sigma f(x,y,z)dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$
  
 对于参数方程 $\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$，有 对于参数方程 $\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$，有
 +
 $$dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v|\,dudv$$ $$dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v|\,dudv$$
  
行 231: 行 234:
  
 | 公式 | 维度 | 左端（边界积分） | 右端（区域积分） | 核心算子 | | 公式 | 维度 | 左端（边界积分） | 右端（区域积分） | 核心算子 |
-|------|------|------------------|------------------|----------| 
 | Green | 2D | 闭曲线积分 $\oint_{\partial D}$ | 二重积分 $\iint_D$ | $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ | | Green | 2D | 闭曲线积分 $\oint_{\partial D}$ | 二重积分 $\iint_D$ | $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ |
 | Gauss | 3D | 闭曲面积分 $\iint_{\partial\Omega}$ | 三重积分 $\iiint_\Omega$ | 散度 $\nabla \cdot \vec{F}$ | | Gauss | 3D | 闭曲面积分 $\iint_{\partial\Omega}$ | 三重积分 $\iiint_\Omega$ | 散度 $\nabla \cdot \vec{F}$ |
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  • 最后更改: 2026/02/19 15:42
  • 由 张叶安