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| 数学分析:多元函数微分学 [2026/02/19 15:33] – [6.1.4 多元函数的连续性] 张叶安 | 数学分析:多元函数微分学 [2026/02/19 15:37] (当前版本) – [6.9 习题] 张叶安 | ||
|---|---|---|---|
| 行 164: | 行 164: | ||
| **关系图：** | **关系图：** | ||
| - | ``` | + | < |
| 偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在 | 偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在 | ||
| - | ⇓ | + | ⇓ |
| - | 连续 | + | 连续 |
| - | ``` | + | </ |
| **例 6.6** 求 $z = x^2y + y^2$ 的全微分。 | **例 6.6** 求 $z = x^2y + y^2$ 的全微分。 | ||
| 行 258: | 行 258: | ||
| **注意：** 驻点不一定是极值点！ | **注意：** 驻点不一定是极值点！ | ||
| - | #### 6.7.2 极值的充分条件 | + | ==== 6.7.2 极值的充分条件==== |
| **定理 6.8（极值的充分条件）** | **定理 6.8（极值的充分条件）** | ||
| 行 303: | 行 303: | ||
| **基础题** | **基础题** | ||
| + | |||
| 1. 求下列函数的偏导数： | 1. 求下列函数的偏导数： | ||
| - | (a) $z = x^3y - xy^3$ | + | |
| - | | + | (a) $z = x^3y - xy^3$ |
| + | |||
| + | (b) $z = \arctan\frac{y}{x}$ | ||
| 2. 设 $z = u^2\ln v$，$u = \frac{x}{y}$，$v = 3x - 2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$。 | 2. 设 $z = u^2\ln v$，$u = \frac{x}{y}$，$v = 3x - 2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$。 | ||
| **提高题** | **提高题** | ||
| + | |||
| 3. 设 $e^z - xyz = 0$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。 | 3. 设 $e^z - xyz = 0$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。 | ||
| 行 315: | 行 319: | ||
| **挑战题** | **挑战题** | ||
| + | |||
| 5. 设变换 $\begin{cases} u = x - 2y \\ v = x + ay \end{cases}$ 可把方程 $6\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$ 简化为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} = 0$，求常数 $a$。 | 5. 设变换 $\begin{cases} u = x - 2y \\ v = x + ay \end{cases}$ 可把方程 $6\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$ 简化为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} = 0$，求常数 $a$。 | ||
张叶安