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--- 数学分析:复习小抄 [2026/04/28 13:07] – 张叶安
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-====== 1.求极限的方法 ======
-===== 1.1. 直接代入法 =====
-适用于函数在该点连续的情形。
-若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则：
-$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
-常见连续函数：多项式、指数函数、对数函数、三角函数在其定义域内连续。
-===== 1.2. 洛必达法则 =====
-适用于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型未定式。
-若 $\lim_{x\to a} f(x)=0,\ \lim_{x\to a} g(x)=0$，
-且 $f'(x),g'(x)$ 存在，$g'(x)\ne 0$，则：
-$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
-=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
-注意：使用前必须先判断是否为未定式。
-===== 1.3. 泰勒公式 =====
-适用于含有三角函数、指数函数、对数函数等复杂表达式的极限。
-当 $x\to 0$ 时：
-$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
-$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
-$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$
-$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$
-$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$
-使用原则：展开到第一个不为零的项。
-===== 1.4. 夹逼定理 =====
-适用于目标函数被两个极限相同的函数夹住。
-若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，
-且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A$，
-则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$
-常见形式：
-$|\sin x|\le |x|$
-$-1\le \sin\frac{1}{x}\le 1$
-$0\le x^2\sin\frac{1}{x}\le x^2$
-===== 1.5. 中值定理 =====
-适用于函数差、导数、单调性相关的极限。
-拉格朗日中值定理：
-若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，
-则存在 $\xi\in(a,b)$，使得：
-$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
-常用形式：
-$f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)$
-柯西中值定理：
-$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
-=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
-===== 1.6. 等价无穷小替换 =====
-适用于乘除结构中的极限。
-当 $x\to 0$ 时，常用等价无穷小：
-$\sin x\sim x$
-$\tan x\sim x$
-$\arcsin x\sim x$
-$\arctan x\sim x$
-$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$
-$e^x-1\sim x$
-$\ln(1+x)\sim x$
-$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$
-注意：
-  * 只能在乘除结构中直接替换
-  * 加减结构中慎用，容易出错
-===== 1.7. 由定义求极限 =====
-适用于证明型题目。
-数列极限定义：
-$\lim_{n\to\infty}a_n=A$
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，
-当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\varepsilon$
-函数极限定义：
-$\lim_{x\to a}f(x)=A$
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，
-当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$
-无穷远处极限：
-$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，
-当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$
-====== 2.求导公式小抄 ======
-===== 2.1. 基本求导公式 =====
-  * 常数：$(C)'=0$
-  * 幂函数：$(x^a)'=ax^{a-1}$
-  * 指数函数：$(a^x)'=a^x\ln a$
-  * 特别地：$(e^x)'=e^x$
-  * 对数函数：$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
-  * 一般对数：$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
-===== 2.2. 四则运算法则 =====
-==== 和差法则 ====
-$(u\pm v)'=u'\pm v'$
-==== 常数倍法则 ====
-$(Cu)'=Cu'$
-==== 积法则 ====
-$(uv)'=u'v+uv'$
-==== 商法则 ====
-$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
-其中 $v\ne 0$。
-===== 2.3. 链式法则 =====
-若 $y=f(g(x))$，则：
-$\frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)$
-也可以写成：
-$(y)'=f'(u)u'$
-其中 $u=g(x)$。
-常见形式：
-$[f(u)]'=f'(u)u'$
-例如：
-$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$
-$(e^u)'=e^u\cdot u'$
-$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$
-$(u^a)'=au^{a-1}u'$
-===== 2.4. 三角函数求导 =====
-$(\sin x)'=\cos x$
-$(\cos x)'=-\sin x$
-$(\tan x)'=\sec^2 x$
-$(\cot x)'=-\csc^2 x$
-$(\sec x)'=\sec x\tan x$
-$(\csc x)'=-\csc x\cot x$
-复合函数形式：
-$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$
-$(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$
-$(\tan u)'=\sec^2u\cdot u'$
-===== 2.5. 反三角函数求导 =====
-$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
-$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
-$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
-$(\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
-复合函数形式：
-$(\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
-$(\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}$
-===== 2.6. 隐式微分法 =====
-当 $x$ 和 $y$ 满足方程：
-$F(x,y)=0$
-且 $y$ 是 $x$ 的函数时，对等式两边同时对 $x$ 求导。
-注意：
-$\frac{d}{dx}y=y'$
-$\frac{d}{dx}y^2=2yy'$
-$\frac{d}{dx}\sin y=\cos y\cdot y'$
-例如：
-$x^2+y^2=1$
-两边求导：
-$2x+2yy'=0$
-所以：
-$y'=-\frac{x}{y}$
-===== 2.7. 对数求导法 =====
-适用于幂指数复杂的函数，例如：
-$y=u(x)^{v(x)}$
-两边取自然对数：
-$\ln y=v(x)\ln u(x)$
-再两边求导：
-$\frac{y'}{y}=v'\ln u+v\frac{u'}{u}$
-所以：
-$y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right)$
-即：
-$[u(x)^{v(x)}]'=
-u(x)^{v(x)}
-\left[
-v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}
-\right]$
-===== 2.8. 指数微分法 =====
-若：
-$y=a^{u(x)}$
-则：
-$y'=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)$
-特别地：
-$(e^{u(x)})'=e^{u(x)}u'(x)$
-若：
-$y=u(x)^{v(x)}$
-也可改写为：
-$y=e^{v(x)\ln u(x)}$
-因此：
-$y'=e^{v\ln u}\cdot (v\ln u)'$
-即：
-$y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right)$
-===== 2.9. 常见复合函数公式 =====
-$(\ln |u|)'=\frac{u'}{u}$
-$(e^u)'=e^u u'$
-$(a^u)'=a^u\ln a\cdot u'$
-$(u^a)'=au^{a-1}u'$
-$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
-$\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}$
-===== 2.10. 常用技巧 =====
-  * 看到乘积，用积法则：$(uv)'=u'v+uv'$
-  * 看到分式，用商法则：
-    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
-  * 看到套娃函数，用链式法则：$[f(u)]'=f'(u)u'$
-  * 看到 $y$ 和 $x$ 混在一起，用隐式微分。
-  * 看到 $x^x$、$(\sin x)^x$、$x^{\sin x}$，用对数求导法。

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