数学分析:复习小抄

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数学分析:复习小抄 [2026/04/28 12:36] – [1.3. 泰勒公式] 张叶安数学分析:复习小抄 [2026/06/02 21:55] (当前版本) – 移除 张叶安
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-====== 1.求极限的方法 ====== 
  
-===== 1.1. 直接代入法 ===== 
-适用于函数在该点连续的情形。 
- 
-若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则： 
-$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ 
- 
-常见连续函数：多项式、指数函数、对数函数、三角函数在其定义域内连续。 
- 
-===== 1.2. 洛必达法则 ===== 
-适用于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型未定式。 
- 
-若 $\lim_{x\to a} f(x)=0,\ \lim_{x\to a} g(x)=0$， 
-且 $f'(x),g'(x)$ 存在，$g'(x)\ne 0$，则： 
-$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} 
-=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 
- 
-注意：使用前必须先判断是否为未定式。 
- 
-===== 1.3. 泰勒公式 ===== 
-适用于含有三角函数、指数函数、对数函数等复杂表达式的极限。 
- 
-当 $x\to 0$ 时： 
- 
-$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$ 
- 
-$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$ 
- 
-$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$ 
- 
-$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$ 
- 
-$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$ 
- 
-使用原则：展开到第一个不为零的项。 
- 
-===== 1.4. 夹逼定理 ===== 
-适用于目标函数被两个极限相同的函数夹住。 
- 
-若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$， 
-且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A$， 
-则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$ 
- 
-常见形式： 
- 
-$|\sin x|\le |x|$ 
- 
-$-1\le \sin\frac{1}{x}\le 1$ 
- 
-$0\le x^2\sin\frac{1}{x}\le x^2$ 
- 
-===== 1.5. 中值定理 ===== 
-适用于函数差、导数、单调性相关的极限。 
- 
-拉格朗日中值定理： 
- 
-若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导， 
-则存在 $\xi\in(a,b)$，使得： 
-$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 
- 
-常用形式： 
- 
-$f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)$ 
- 
-柯西中值定理： 
- 
-$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} 
-=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 
- 
-===== 1.6. 等价无穷小替换 ===== 
-适用于乘除结构中的极限。 
- 
-当 $x\to 0$ 时，常用等价无穷小： 
- 
-$\sin x\sim x$ 
- 
-$\tan x\sim x$ 
- 
-$\arcsin x\sim x$ 
- 
-$\arctan x\sim x$ 
- 
-$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ 
- 
-$e^x-1\sim x$ 
- 
-$\ln(1+x)\sim x$ 
- 
-$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$ 
- 
-注意： 
- 
-  * 只能在乘除结构中直接替换 
-  * 加减结构中慎用，容易出错 
- 
-===== 1.7. 由定义求极限 ===== 
-适用于证明型题目。 
- 
-数列极限定义： 
- 
-$\lim_{n\to\infty}a_n=A$ 
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$， 
-当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\varepsilon$ 
- 
-函数极限定义： 
- 
-$\lim_{x\to a}f(x)=A$ 
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$， 
-当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 
- 
-无穷远处极限： 
- 
-$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ 
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$， 
-当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 
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  • 最后更改: 2026/04/28 12:36
  • 由 张叶安