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--- 数学分析:复习小抄 [2026/04/28 12:32] – 张叶安
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-====== 1.求极限的方法 ======
-===== 1.1. 直接代入法 =====
-适用于函数在该点连续的情形。
-若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则：
-$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$
-常见连续函数：多项式、指数函数、对数函数、三角函数在其定义域内连续。
-===== 1.2. 洛必达法则 =====
-适用于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型未定式。
-若 $\lim_{x\to a} f(x)=0,\ \lim_{x\to a} g(x)=0$，
-且 $f'(x),g'(x)$ 存在，$g'(x)\ne 0$，则：
-$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
-=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
-注意：使用前必须先判断是否为未定式。
-===== 1.3. 泰勒公式 =====
-适用于含有三角函数、指数函数、对数函数等复杂表达式的极限。
-常用展开：
-$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
-$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
-$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
-$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
-$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)$
-使用原则：展开到第一个不为零的项。
-===== 1.4. 夹逼定理 =====
-适用于目标函数被两个极限相同的函数夹住。
-若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，
-且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A$，
-则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$
-常见形式：
-$|\sin x|\le |x|$
-$-1\le \sin\frac{1}{x}\le 1$
-$0\le x^2\sin\frac{1}{x}\le x^2$
-===== 1.5. 中值定理 =====
-适用于函数差、导数、单调性相关的极限。
-拉格朗日中值定理：
-若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，
-则存在 $\xi\in(a,b)$，使得：
-$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
-常用形式：
-$f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)$
-柯西中值定理：
-$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
-=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
-===== 1.6. 等价无穷小替换 =====
-适用于乘除结构中的极限。
-当 $x\to 0$ 时，常用等价无穷小：
-$\sin x\sim x$
-$\tan x\sim x$
-$\arcsin x\sim x$
-$\arctan x\sim x$
-$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$
-$e^x-1\sim x$
-$\ln(1+x)\sim x$
-$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$
-注意：
-  * 只能在乘除结构中直接替换
-  * 加减结构中慎用，容易出错
-===== 1.7. 由定义求极限 =====
-适用于证明型题目。
-数列极限定义：
-$\lim_{n\to\infty}a_n=A$
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，
-当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\varepsilon$
-函数极限定义：
-$\lim_{x\to a}f(x)=A$
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，
-当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$
-无穷远处极限：
-$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$
-表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，
-当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$

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