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| 数学分析:函数极限 [2026/01/09 13:54] – 创建 张叶安 | 数学分析:函数极限 [2026/02/18 19:41] (当前版本) – 移除 张叶安 | ||
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| - | ===== 函数极限 (Function Limits) ===== | ||
| - | ==== 5.1 定义 (去心邻域法) ==== | ||
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| - | 设 $a$ 是定义域 $X$ 的聚点。$\lim_{x \to a} f(x) = A$ 定义为： | ||
| - | $$ \forall V = N(A), \exists U = N^*(a) \text{ (去心邻域)}, | ||
| - | 此定义涵盖了 $x \to x_0$, $x \to \infty$, 左右极限等所有情况。 | ||
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| - | ==== 5.2 海涅定理 (Heine Theorem) ==== | ||
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| - | $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 $\iff$ 对任意 $x_n \to a (x_n \neq a)$，数列 $f(x_n)$ 都有同一极限。 | ||
| - | *(连接了函数极限与数列极限)* | ||
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| - | ==== 5.3 性质 ==== | ||
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| - | 函数极限具备唯一性、局部有界性、保号性、四则运算规则、夹逼原理等，与数列极限类似。 | ||
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| - | ==== 5.4 Cauchy 收敛原理 (函数) ==== | ||
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| - | $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充要条件： | ||
| - | $$ \lim_{x, y \to a} |f(x) - f(y)| = 0 $$ | ||
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| - | ==== 5.6 变量代换规则 ==== | ||
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| - | 若 $f(x) \to A (x \to a, x \neq a \implies f(x) \neq A)$ 且 $\varphi(y) \to l (y \to A)$，则： | ||
| - | $$ \lim_{x \to a} \varphi(f(x)) = l $$ | ||
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| - | ==== 5.8 两个重要极限 ==== | ||
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| - | - 1. **幂指函数极限**： | ||
| - | $$ \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e $$ | ||
| - | - 2. **三角函数极限**： | ||
| - | $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ | ||
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| - | ==== 5.10 二重极限与逐次极限 ==== | ||
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| - | 考察 $\lim_{x \to a, y \to b} f(x, y)$ 与 $\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$ 的关系。 | ||
| - | **定理**：若逐次极限函数 $\varphi(x) = \lim_{y \to b} f(x, y)$ 存在，且二重极限存在，则二者相等。 | ||
| - | *(注：二重极限存在要求更高，沿任意路径趋近都相等)* | ||
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| - | ===== 无穷小与无穷大 (Infinitesimals and Infinities) ===== | ||
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| - | ==== 6.1 定义 ==== | ||
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| - | * **无穷小量**：若 $\lim u = 0$。 | ||
| - | * **无穷大量**：若 $\lim |u| = \infty$。 | ||
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| - | ==== 6.2 比较记号 ($o, O, \sim$) ==== | ||
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| - | 设在同一极限过程中： | ||
| - | * **高阶无穷小 ($o$)**：$u = o(v) \iff \lim u/v = 0$。 | ||
| - | * **同阶无穷小 ($O^*$)**：$u = O^*(v) \iff 0 < \lim |u/v| < \infty$。 | ||
| - | * **有界量 ($O$)**：$u = O(v) \iff \varlimsup |u/v| < \infty$。 | ||
| - | * **等价无穷小 ($\sim$)**：$u \sim v \iff \lim u/v = 1$。 | ||
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| - | **运算规则**： | ||
| - | * $o(o(w)) = o(w)$ | ||
| - | * $o(v) \cdot O(w) = o(vw)$ | ||
| - | * $u \sim v \iff u - v = o(v)$ | ||
| - | * **等价替换**：若 $u \sim v$，求极限时因子 $u$ 可替换为 $v$。 | ||
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| - | ==== 6.4 常用等价无穷小 (当 $x \to 0$) ==== | ||
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| - | * $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$ | ||
| - | * $\sin x \sim x$ | ||
| - | * $\ln(1+x) \sim x$ | ||
| - | * $e^x - 1 \sim x$ | ||
| - | * $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | ||
张叶安