弹性力学

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弹性力学 [2025/11/25 13:05] – [2.2 动力与运动情况下的特性] 张叶安弹性力学 [2025/12/08 13:04] (当前版本) – [目录] 张叶安
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 ==== 3.1 标准试件与参数定义 ==== ==== 3.1 标准试件与参数定义 ====
  
-试验通常使用**标准试件**进行（参考图 1-4）。+试验通常使用**标准试件**进行。
  
-{{Graph:Standard_Specimen_Diagram|标准试件受力示意图}} +{{pasted:20251125-130626.png}}
-//(此处建议插入图 1-4)//+
  
-*   **$L_0$**：标准试件中两指定点之间在受力之前的长度（标距）。 +  *   **$L_0$**：标准试件中两指定点之间在受力之前的长度（标距）。 
-*   **$F_0$**：中段上的截面面积。 +  *   **$F_0$**：中段上的截面面积。 
-*   **$P$**：施加的拉力。 +  *   **$P$**：施加的拉力。 
-*   **$\Delta L$**：加上拉力 $P$ 后，$L_0$ 的伸长量。+  *   **$\Delta L$**：加上拉力 $P$ 后，$L_0$ 的伸长量。
  
 ==== 3.2 应力与应变公式 ==== ==== 3.2 应力与应变公式 ====
行 51: 行 50:
 根据定义，我们可以得出以下基本物理量： 根据定义，我们可以得出以下基本物理量：
  
-*   **拉伸应力 (Tensile Stress, $\sigma$)**：单位面积上的内力。 +  *   **拉伸应力 (Tensile Stress, $\sigma$)**：单位面积上的内力。 
-    $$ \sigma = \frac{P}{F_0} $$ +$$ \sigma = \frac{P}{F_0} $$ 
-*   **拉伸应变 (Tensile Strain, $\epsilon$)**：单位长度的伸长量。 +  *   **拉伸应变 (Tensile Strain, $\epsilon$)**：单位长度的伸长量。 
-    $$ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$+$$ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$
  
 ==== 3.3 杨氏模量 (Young's Modulus) ==== ==== 3.3 杨氏模量 (Young's Modulus) ====
行 68: 行 67:
 ==== 4.1 韧性固体的应力应变图 ==== ==== 4.1 韧性固体的应力应变图 ====
  
-参考图 1-5，曲线通常包含以下阶段： +{{pasted:20251125-130752.png}} 
-*   **弹性阶段**：应力与应变成正比。 + 
-*   **屈服阶段 ($\sigma_y$)**：材料发生显著塑性变形。 +曲线通常包含以下阶段： 
-*   **强化阶段**：曲线继续上升至最高点 $B$。+  *   **弹性阶段**：应力与应变成正比。 
 +  *   **屈服阶段 ($\sigma_y$)**：材料发生显著塑性变形。 
 +  *   **强化阶段**：曲线继续上升至最高点 $B$。
  
 ==== 4.2 弹性的滞后现象 (Hysteresis) ==== ==== 4.2 弹性的滞后现象 (Hysteresis) ====
  
-许多脆性固体在**除去载荷**和**重复载荷**的过程中，其应力-应变路径并不沿直线进行，而是沿着一种**回路**进行（参考图 1-7）。+{{pasted:20251125-130824.png}} 
 + 
 +许多脆性固体在**除去载荷**和**重复载荷**的过程中，其应力-应变路径并不沿直线进行，而是沿着一种**回路**进行。
  
-*   **能量损耗**：经过回路一周是要作功的，因此便发生弹性的滞后现象。 +  *   **能量损耗**：经过回路一周是要作功的，因此便发生弹性的滞后现象。 
-*   **历史背景**：这种现象是 1906 年由哥丁根大学 (Göttingen) 的**柏林诺 (Prandtl)** 首先发现的。 +  *   **历史背景**：这种现象是 1906 年由哥丁根大学 (Göttingen) 的**柏林诺 (Prandtl)** 首先发现的。 
-*   **工程意义**：滞后现象是材料在振动时破坏的主要因素。+  *   **工程意义**：滞后现象是材料在振动时破坏的主要因素。
  
 ===== 5. 横向变形与泊松比 ===== ===== 5. 横向变形与泊松比 =====
  
 固体在伸长（或压缩）时，不仅长度发生变化，试件的截面也有变形。 固体在伸长（或压缩）时，不仅长度发生变化，试件的截面也有变形。
-*   **长度伸长** $\rightarrow$ **截面缩小** +  *   **长度伸长** $\rightarrow$ **截面缩小** 
-*   **长度缩短** $\rightarrow$ **截面增加**+  *   **长度缩短** $\rightarrow$ **截面增加**
  
 假如我们定义： 假如我们定义：
-*   **横向应变**：$\epsilon_y$ 或 $\epsilon_z$ +  *   **横向应变**：$\epsilon_y$ 或 $\epsilon_z$ 
-*   **纵向应变**：$\epsilon_x$+  *   **纵向应变**：$\epsilon_x$
  
 在简单拉伸（压缩）、横向不受力的情况下，横向应变和纵向应变有下列关系： 在简单拉伸（压缩）、横向不受力的情况下，横向应变和纵向应变有下列关系：
  
-$$ \frac{\epsilon_y}{\epsilon_x} = -\nu \quad (1-5) $$+$$ \frac{\epsilon_y}{\epsilon_x} = -\nu  $$
  
 我们称 **$\nu$** 为材料的**泊松比 (Poisson's ratio)**。 我们称 **$\nu$** 为材料的**泊松比 (Poisson's ratio)**。
-*   一般 $\nu$ 的值在 **$1/3$ 到 $1/4$** 之间。+  *   一般 $\nu$ 的值在 **$1/3$ 到 $1/4$** 之间。
  
 ===== 6. 剪切变形与剪力模量 ===== ===== 6. 剪切变形与剪力模量 =====
行 103: 行 106:
  
 ==== 6.1 剪切模型 ==== ==== 6.1 剪切模型 ====
 +{{pasted:20251125-131414.png}}
  
 假设有一个立方体： 假设有一个立方体：
-1.  截面积为 $F$（参考图 1-8）。 +  - 截面积为 $F$。 
-2.  两个面上各受一方向相反、大小相等的剪力 $P$。 +  -  两个面上各受一方向相反、大小相等的剪力 $P$。 
-3.  材料由立方体变成斜方体。+  -  材料由立方体变成斜方体。
  
 ==== 6.2 剪切定义 ==== ==== 6.2 剪切定义 ====
  
-*   **剪应力 ($\tau$)**： +  *   **剪应力 ($\tau$)**： 
-    $$ \tau = \frac{P}{F} $$ +$$ \tau = \frac{P}{F} $$ 
-*   **剪应变 ($\gamma$)**：斜方体的倾斜角。 +  *   **剪应变 ($\gamma$)**：斜方体的倾斜角。 
-*   **剪力模量 ($\mu$)**： +  *   **剪力模量 ($\mu$)**： 
-    $$ \frac{\tau}{\gamma} = \mu \quad (1-6) $$+$$ \frac{\tau}{\gamma} = \mu  $$
          
-    *注：当 $\gamma$ 不大时，$\mu$ 一般是一个常数；但当 $\tau$ 超过某一限度时，也会发生屈服现象。*+注：当 $\gamma$ 不大时，$\mu$ 一般是一个常数；但当 $\tau$ 超过某一限度时，也会发生屈服现象。
  
 ===== 7. 弹性体——固体的理想化 ===== ===== 7. 弹性体——固体的理想化 =====
行 125: 行 129:
 一般固体在静力作用下的力学性质是很复杂的，包含弹性变形、塑性永久变形、蠕变等。为了简化研究，我们引入**弹性体**的概念： 一般固体在静力作用下的力学性质是很复杂的，包含弹性变形、塑性永久变形、蠕变等。为了简化研究，我们引入**弹性体**的概念：
  
-1.  **假设条件**：仅研究固体在**载荷不大**、**应变很小**的情况。 +  -  **假设条件**：仅研究固体在**载荷不大**、**应变很小**的情况。 
-2.  **忽略次要因素**：在此情况下，永久变形和蠕变都很小，主要部分是弹性变形。 +  -  **忽略次要因素**：在此情况下，永久变形和蠕变都很小，主要部分是弹性变形。 
-3.  **理想化模型**：略去弹性变形以外的变形部分，假定物体在除去载荷后，完全恢复到变形前的原来形状。+  -  **理想化模型**：略去弹性变形以外的变形部分，假定物体在除去载荷后，完全恢复到变形前的原来形状。
  
 我们称这种理想化的固体为**弹性体**。 我们称这种理想化的固体为**弹性体**。
行 136: 行 140:
  
 关于这个**微元体**的大小定义存在辩证关系： 关于这个**微元体**的大小定义存在辩证关系：
-*   **数学上**：它是一个无穷小量（不能太大），以便应用微积分分析。 +  * **数学上**：它是一个无穷小量（不能太大），以便应用微积分分析。 
-*   **物理上**：它虽不能太大，但也**不能太小**。它的大小应当**大于包括很多小晶体的空间**。+  * **物理上**：它虽不能太大，但也**不能太小**。它的大小应当**大于包括很多小晶体的空间**。
  
 **目的**：只有这样，我们提出的**均匀性假设**才没有损害，实际的材料当然不可能是完全均匀的，但通过这种统计平均的微元体，我们可以将其视为均匀介质处理。 **目的**：只有这样，我们提出的**均匀性假设**才没有损害，实际的材料当然不可能是完全均匀的，但通过这种统计平均的微元体，我们可以将其视为均匀介质处理。
  
 +除了连续性和均匀性，弹性力学通常还包含以下三个基本假设：
 +
 +  * **各向同性 (Isotropy)**
 +    * 假设材料在各个方向上的物理性质（如弹性模量、泊松比）都是相同的。这意味着物体内一点的力学性能与方向无关。
 +  * **线弹性假设 (Linear Elasticity)**
 +    * 假设应力与应变之间满足线性关系（即胡克定律，Hooke's Law）。材料在卸载后能够完全恢复原状，且变形与外力成正比。
 +  * **小变形假设 (Small Deformation)**
 +    * 假设物体受力后的位移和变形量远小于物体自身的尺寸。
 +    *在此假设下，建立平衡方程时可以用变形前的几何尺寸代替变形后的尺寸，且应变的高阶微量可以忽略不计（几何线性）。
 +
 +==== 7.3 弹性力学在固体力学中的位置 ====
 +
 +{{pasted:20251201-132947.png}}
 ====== 目录 ====== ====== 目录 ======
  
-  - [[弹性力学:应变分析]] 
   - [[弹性力学:应力分析]]   - [[弹性力学:应力分析]]
 +  - [[弹性力学:应变分析]]
   - [[弹性力学:应力和应变的关系]]   - [[弹性力学:应力和应变的关系]]
   - [[弹性力学:弹性体力学问题的建立]]   - [[弹性力学:弹性体力学问题的建立]]
   - [[弹性力学:弹性力学的一般原理]]   - [[弹性力学:弹性力学的一般原理]]
-  - [[弹性力学:柱体的扭转与弯曲]] 
   - [[弹性力学:弹性力学的平面问题]]   - [[弹性力学:弹性力学的平面问题]]
 +  - [[弹性力学:能量法]]
 +  - [[弹性力学:柱体的扭转与弯曲]]
   - [[弹性力学:薄板问题]]   - [[弹性力学:薄板问题]]
   - [[弹性力学:接触问题]]   - [[弹性力学:接触问题]]
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  • 由 张叶安