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| 弹性力学:能量法 [2025/12/08 13:19] – [6. 伽辽金法 (Galerkin Method)] 张叶安 | 弹性力学:能量法 [2025/12/08 13:20] (当前版本) – [7. 扩展知识：泛函与变分法] 张叶安 |
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| 为了深入理解能量法，需要数学上的**变分法**基础。 | 为了深入理解能量法，需要数学上的**变分法**基础。 |
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| * **泛函 (Functional)**: 简单的说，就是“函数的函数”。 | * **泛函 (Functional)**: 简单的说，就是“函数的函数”。 |
| * 普通函数: $y = f(x)$ (输入一个数，输出一个数)。 | * 普通函数: $y = f(x)$ (输入一个数，输出一个数)。 |
| * 泛函: $J = J[y(x)]$ (输入一个函数曲线，输出一个数值)。 | * 泛函: $J = J[y(x)]$ (输入一个函数曲线，输出一个数值)。 |
| * **例子**: 最速降线问题中，时间 $T$ 是路径曲线 $y(x)$ 的泛函。 | * **例子**: 最速降线问题中，时间 $T$ 是路径曲线 $y(x)$ 的泛函。 |
| * **变分 ($\delta$)**: | * **变分 ($\delta$)**: |
| * 函数的微分 $dy$: 自变量 $x$ 变化微小量 $dx$ 引起的函数值变化。 | * 函数的微分 $dy$: 自变量 $x$ 变化微小量 $dx$ 引起的函数值变化。 |
| * 泛函的变分 $\delta J$: 函数形式 $y(x)$ 发生微小改变 $\delta y$ (虚位移) 引起的泛函值变化。 | * 泛函的变分 $\delta J$: 函数形式 $y(x)$ 发生微小改变 $\delta y$ (虚位移) 引起的泛函值变化。 |
| * **极值条件**: | * **极值条件**: |
| * 函数极值: $dy/dx = 0$。 | * 函数极值: $dy/dx = 0$。 |
| * 泛函极值: $\delta J = 0$ (这就是为什么最小势能原理写成 $\delta \Pi_p = 0$)。 | * 泛函极值: $\delta J = 0$ (这就是为什么最小势能原理写成 $\delta \Pi_p = 0$)。 |
| | | **(能量) 泛函** | | | | | **(能量) 泛函** | | |
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| * **瑞利-里兹法** 直接基于 **最小势能原理 (泛函)**。 | * **瑞利-里兹法** 直接基于 **最小势能原理 (泛函)**。 |
| * **伽辽金法** 基于 **加权余量法**，但在弹性力学自伴随算子的情况下，它与瑞利-里兹法是等价的。 | * **伽辽金法** 基于 **加权余量法**，但在弹性力学自伴随算子的情况下，它与瑞利-里兹法是等价的。 |
| * **有限元法 (FEM)** 本质上就是**分段定义插值函数**的瑞利-里兹法或伽辽金法。它将复杂的全域函数简化为简单的单元形状函数（如线性、二次多项式），从而极大地简化了计算。 | * **有限元法 (FEM)** 本质上就是**分段定义插值函数**的瑞利-里兹法或伽辽金法。它将复杂的全域函数简化为简单的单元形状函数（如线性、二次多项式），从而极大地简化了计算。 |
张叶安